Orthogonalité dans l'espace

Cette fiche étend le produit scalaire à l'espace, puis l'utilise pour parler de droites orthogonales, de plans perpendiculaires et de projections orthogonales.

Dans toute la fiche, l'espace est muni d'un repère orthonormé.

1. Produit scalaire dans l'espace

Définition et calcul du produit scalaire

Comme dans le plan, le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est un nombre, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$ :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$

où $\widehat{\vec{u}, \vec{v}}$ est l'angle entre les deux vecteurs (ils sont toujours dans un même plan, même dans l'espace).

Calcul à partir des coordonnées

Dans un repère orthonormé :

Pour $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$ :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = x\,x' + y\,y' + z\,z'$

La norme d'un vecteur se calcule avec la même idée : $\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ .

Exemple : $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + 3 \times 1 = 2 - 2 + 3 = 3$

Interprétation du signe et du résultat

Le signe du produit scalaire renseigne sur l'angle $\theta$ entre les vecteurs (non nuls) :

$\vec{u} \cdot \vec{v} > 0$ : l'angle est aigu ( $\cos \theta > 0$ ) ;
$\vec{u} \cdot \vec{v} < 0$ : l'angle est obtus ( $\cos \theta < 0$ ) ;
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ : l'angle est droit.

On peut aussi retrouver l'angle : $\cos \theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$ .

Exemple : pour les vecteurs précédents, $\|\vec{u}\| = \sqrt{14}$ et $\|\vec{v}\| = \sqrt{6}$ , donc $\cos \theta = \dfrac{3}{\sqrt{84}} \approx 0{,}327$ . Le produit scalaire est positif : l'angle est aigu, d'environ $71^\circ$ .

Lien entre produit scalaire nul et orthogonalité

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

Le vecteur nul est considéré comme orthogonal à tous les vecteurs.

2. Orthogonalité des droites et des vecteurs

Vecteurs orthogonaux

Exemple : $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ .

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 + 0 - 3 = 0$ . Les vecteurs sont orthogonaux.

Deux droites orthogonales

Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Cette définition ne demande pas que les droites se coupent.

Comment vérifier l'orthogonalité à partir des vecteurs directeurs

Repérer un vecteur directeur $\vec{u}$ de la première droite et $\vec{v}$ de la seconde.
Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .
Si le résultat est $0$ , les droites sont orthogonales ; sinon, elles ne le sont pas.

Attention à la différence entre orthogonales et perpendiculaires dans l'espace

Deux droites sont orthogonales si leurs directions forment un angle droit.
Deux droites sont perpendiculaires si elles sont orthogonales et sécantes (elles se coupent).

Deux droites perpendiculaires sont donc orthogonales, mais deux droites orthogonales ne sont pas toujours perpendiculaires.

Exemple : dans le cube $ABCDEFGH$ , avec le repère $\left(A\ ;\ \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{AE}\right)$ , on a $A(0\ ;\ 0\ ;\ 0)$ , $B(1\ ;\ 0\ ;\ 0)$ , $C(1\ ;\ 1\ ;\ 0)$ et $G(1\ ;\ 1\ ;\ 1)$ .

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CG}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CG} = 0$ . Les droites $(AB)$ et $(CG)$ sont orthogonales.
Mais elles ne se coupent pas ( $(AB)$ a pour équations $y = 0$ et $z = 0$ ; $(CG)$ a pour équations $x = 1$ et $y = 1$ : aucun point commun). Elles ne sont donc pas perpendiculaires.

3. Droite et plan

Droite orthogonale à un plan

Une droite $(d)$ est orthogonale à un plan $(P)$ lorsqu'elle est orthogonale à toutes les droites de $(P)$ .

Critère permettant de montrer qu'une droite est orthogonale à un plan

Il suffit de vérifier l'orthogonalité avec deux directions non colinéaires du plan.

Critère. Soit $\vec{u}$ un vecteur directeur de $(d)$ , et soient $\vec{v_1}$ et $\vec{v_2}$ deux vecteurs non colinéaires dirigeant $(P)$ . Si $\vec{u} \cdot \vec{v_1} = 0$ et $\vec{u} \cdot \vec{v_2} = 0$ , alors $(d)$ est orthogonale à $(P)$ .

Exemple : $(P)$ est le plan passant par $A(0\ ;\ 0\ ;\ 0)$ dirigé par $\vec{v_1}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vec{v_2}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ , et $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

$\vec{u} \cdot \vec{v_1} = 1 - 1 + 0 = 0$ ;
$\vec{u} \cdot \vec{v_2} = 0 + 1 - 1 = 0$ .

Toute droite de vecteur directeur $\vec{u}$ est orthogonale à $(P)$ .

Utilisation des vecteurs normaux

Un vecteur normal à un plan $(P)$ est un vecteur non nul orthogonal à ce plan, c'est-à-dire un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $(P)$ . Dans l'exemple précédent, $\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $(P)$ .

Équation d'un plan. Le plan passant par $A(x_A\ ;\ y_A\ ;\ z_A)$ et de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$ , soit :

$a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$

On en tire une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$ . Les coefficients de $x$ , $y$ et $z$ donnent donc directement un vecteur normal.

Exemple : plan passant par $A(1\ ;\ 0\ ;\ 2)$ de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ .

$(x - 1) + 2y - (z - 2) = 0 \iff x + 2y - z + 1 = 0$

Vérification : pour $A$ , $1 + 0 - 2 + 1 = 0$ ✓.

Plans perpendiculaires

Deux plans sont perpendiculaires lorsque leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

Exemple : $(P) : x + y + z = 0$ (normal $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ) et $(P') : x - y = 0$ (normal $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ ).

Produit scalaire des vecteurs normaux : $1 - 1 + 0 = 0$ . Les plans $(P)$ et $(P')$ sont perpendiculaires.

4. Projection orthogonale

Projection orthogonale d'un point sur une droite

Soit $(d)$ une droite de vecteur directeur $\vec{u}$ et $M$ un point. Le projeté orthogonal de $M$ sur $(d)$ est le point $H$ de $(d)$ tel que $\overrightarrow{MH}$ est orthogonal à $\vec{u}$ . C'est le point de $(d)$ le plus proche de $M$ .

Projection orthogonale d'un point sur un plan

Soit $(P)$ un plan de vecteur normal $\vec{n}$ et $M$ un point. Le projeté orthogonal de $M$ sur $(P)$ est le point $H$ de $(P)$ tel que $\overrightarrow{MH}$ est colinéaire à $\vec{n}$ . C'est le point de $(P)$ le plus proche de $M$ .

Reconnaître et construire une projection orthogonale

Pour construire le projeté, il y a deux méthodes, selon l'objet.

Sur une droite. Soit $A \in (d)$ . Écrire $H = A + t\,\vec{u}$ (un point de $(d)$ avec un paramètre $t$ ), puis imposer $\overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = 0$ . On obtient une équation en $t$ .

Exemple : $(d)$ passant par $A(1\ ;\ 0\ ;\ 1)$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ , et $M(3\ ;\ 0\ ;\ 3)$ .

Le point $H$ a pour coordonnées $(1 + t\ ;\ t\ ;\ 1)$ . Donc $\overrightarrow{MH}\begin{pmatrix} t - 2 \\ t \\ -2 \end{pmatrix}$ . La condition $\overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = 0$ donne :

$(t - 2) + t + 0 = 0 \iff t = 1$

Le projeté est $H(2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ .

Sur un plan. Écrire $H = M + k\,\vec{n}$ (on part de $M$ dans la direction normale), puis imposer que $H$ vérifie l'équation du plan. On obtient une équation en $k$ .

Exemple : $(P) : x + y + z - 3 = 0$ , de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , et $M(2\ ;\ 2\ ;\ 2)$ .

Le point $H$ a pour coordonnées $(2 + k\ ;\ 2 + k\ ;\ 2 + k)$ . Dans l'équation du plan :

$3(2 + k) - 3 = 0 \iff 3 + 3k = 0 \iff k = -1$

Le projeté est $H(1\ ;\ 1\ ;\ 1)$ .

Lien entre projection orthogonale et perpendicularité

Si $M$ n'est pas sur la droite $(d)$ , la droite $(MH)$ est perpendiculaire à $(d)$ : elle est orthogonale à $(d)$ et elles se coupent en $H$ .

Pour un plan, la droite $(MH)$ est orthogonale au plan $(P)$ .

Utilisation de la projection pour déterminer des longueurs/distances

La distance d'un point $M$ à une droite ou à un plan est la longueur $MH$ , où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ .

Exemples :

distance de $M(3\ ;\ 0\ ;\ 3)$ à la droite $(d)$ de l'exemple précédent : $\overrightarrow{MH}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ (avec $H(2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ ), donc $MH = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$ ;
distance de $M(2\ ;\ 2\ ;\ 2)$ au plan $(P)$ : $\overrightarrow{MH}\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$ , donc $MH = \sqrt{3}$ .