Mon cahier › Fonctions composées

Fiche de synthèse — Fonctions composées

1. Principe et domaine de définition

Une fonction composée s'écrit sous la forme :

f(x)=v(u(x))f(x)=v(u(x))

où uu est la fonction intérieure et vv la fonction extérieure.

Pour déterminer le domaine de définition, il faut vérifier que :

  • u(x)u(x) est définie ;
  • u(x)u(x) appartient au domaine de définition de vv.

Par exemple, pour ln⁡(u(x))\ln(u(x)), il faut imposer :

u(x)>0u(x)>0

2. Dérivée d'une fonction composée

Si f(x)=v(u(x))f(x)=v(u(x)), alors :

f′(x)=u′(x)×v′(u(x))f'(x)=u'(x)\times v'(u(x))

Autrement dit : on dérive la fonction extérieure en conservant la fonction intérieure, puis on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure.

Formules indispensables

Pour une fonction uu dérivable :

Puissance :

(un)′=nu′un−1(u^n)'=nu'u^{n-1}

Exponentielle :

(eu)′=u′eu(e^u)'=u'e^u

Logarithme :

(ln⁡u)′=u′usi u>0(\ln u)'=\frac{u'}{u} \qquad \text{si } u>0

Inverse :

(1u)′=−u′u2si u≠0\left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^2} \qquad \text{si } u\neq0

Racine carrée :

(u)′=u′2usi u>0(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}} \qquad \text{si } u>0

3. Réflexes essentiels

  • Repérer la fonction intérieure u(x)u(x) et la fonction extérieure.
  • Dériver la fonction extérieure en gardant la fonction intérieure.
  • Multiplier par la dérivée de la fonction intérieure.
  • Vérifier les conditions de définition avant de dériver.
  • Simplifier le résultat seulement après avoir appliqué la formule.

Attention : ne pas oublier le facteur u′(x)u'(x).

À retenir :

(v∘u)′=(v′∘u)×u′\boxed{(v\circ u)'=(v'\circ u)\times u'}