Reconnaître une fonction composée

1. Comprendre l'idée de composition

Fonction intérieure / fonction extérieure

Composer deux fonctions, c'est les enchaîner : on applique d'abord une fonction $u$ , puis une fonction $g$ au résultat.

$x \;\xrightarrow{\ u\ }\; u(x) \;\xrightarrow{\ v\ }\; v\big(u(x)\big)$

La fonction obtenue se note $v \circ u$ (« $v$ rond $u$ ») :

$(v \circ u)(x) = v\big(u(x)\big)$

$u$ est la fonction intérieure : elle est appliquée en premier ;
$v$ est la fonction extérieure : elle est appliquée en dernier.

Exemple : $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ . Pour calculer $f(2)$ , on calcule d'abord $2^2 + 1 = 5$ , puis on prend la racine carrée : $\sqrt{5}$ .

fonction intérieure : $u(x) = x^2 + 1$ ;
fonction extérieure : $v(X) = \sqrt{X}$ .

L'ordre compte : avec les mêmes fonctions dans l'autre sens, $(u \circ v)(x) = \left(\sqrt{x}\right)^2 + 1 = x + 1$ (pour $x \geq 0$ ). Ce n'est pas la même fonction.

Reconnaître une fonction composée dans une expression

Pour repérer une composition, se demander : « Quelle fonction est appliquée en dernier, et à quoi ? »

Signe typique : une fonction usuelle (racine carrée, exponentielle, logarithme, puissance, inverse) « enveloppe » une expression qui contient $x$ .

En pratique, imaginer le calcul de $f(x)$ pour une valeur précise de $x$ : la première étape donne $u(x)$ , la dernière applique $g$ .

Quelques cas simples

Expression $f(x)$	Fonction intérieure $u(x)$	Fonction extérieure $g(X)$
$\sqrt{2x + 1}$	$2x + 1$	$\sqrt{X}$
$e^{3x}$	$3x$	$e^{X}$
$(x^2 + 1)^3$	$x^2 + 1$	$X^3$
$\dfrac{1}{x + 4}$	$x + 4$	$\dfrac{1}{X}$
$\ln\left(x^2 + 1\right)$	$x^2 + 1$	$\ln(X)$

2. Écrire une fonction sous forme composée

Identifier les deux fonctions

Procéder en trois temps :

Calculer $f$ pour une valeur (par exemple $x = 2$ ) et noter l'ordre des opérations.
La première étape donne la fonction intérieure $u$ .
La dernière étape donne la fonction extérieure $v$ .

Pour la fonction extérieure, utiliser une autre lettre que $x$ (par exemple $X$ ) afin de ne pas confondre les deux fonctions.

Décomposer une expression

Écrire $f = v \circ u$ puis vérifier que $v\big(u(x)\big)$ redonne bien $f(x)$ .

Exemple 1 : $f(x) = e^{x^2 - 3x}$ .

$u(x) = x^2 - 3x$ ;
$g(X) = e^{X}$ ;
Vérification : $v\big(u(x)\big) = e^{x^2 - 3x} = f(x)$ .

Exemple 2 : $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ .

$u(x) = x^2 + 1$ ;
$v(X) = \dfrac{1}{X}$ ;
Vérification : $g\big(u(x)\big) = \dfrac{1}{x^2 + 1} = f(x)$ .

Exemple 3 : $f(x) = e^{\sqrt{x}}$ .

$u(x) = \sqrt{x}$ ;
$v(X) = e^{X}$ ;
Vérification : $g\big(u(x)\big) = e^{\sqrt{x}} = f(x)$ .

3. Erreurs fréquentes

Mal identifier les fonctions intérieure et extérieure, et donc mal écrire la composition

La fonction intérieure est celle qui est appliquée en premier.

Pour $f(x) = e^{3x}$ : $u(x) = 3x$ et $v(X) = e^{X}$ . Inverser les rôles donnerait $3e^x$ , qui n'est pas $e^{3x}$ . Toujours vérifier avec $v\big(u(x)\big)$ .

Ne pas reconnaître une fonction composée présentée sous une forme moins évidente

Une composition peut se cacher.

$f(x) = \dfrac{1}{2x + 3}$ est composée : $u(x) = 2x + 3$ suivie de $v(X) = \dfrac{1}{X}$ ;
$f(x) = (x^2 + 1)^3$ est composée : $u(x) = x^2 + 1$ suivie de $v(X) = X^3$ ;
$f(x) = e^{-x}$ est composée : $u(x) = -x$ suivie de $v(X) = e^{X}$ .

Croire que toute expression avec plusieurs opérations est une fonction composée

Une composition applique une fonction au résultat d'une autre. Une somme ou un produit de fonctions n'est pas une composition.

$x^2 + 3x$ : somme de deux fonctions ;
$x\,e^{x}$ : produit de deux fonctions ;
$(x+1)(x-2)$ : produit de deux fonctions.

Ces expressions ont plusieurs opérations, mais aucune fonction n'y est appliquée au résultat d'une autre.