Dériver une fonction composée

Pour dériver une fonction composée, il suffit de suivre une règle en deux gestes : dériver l'extérieur, puis multiplier par la dérivée de l'intérieur. Cette fiche déroule la méthode sur un exemple, puis donne les formes à reconnaître.

La formule. Si $f = v \circ u$ , c'est-à-dire $f(x) = v\big(u(x)\big)$ , alors :

$f'(x) = u'(x) \times v'\big(u(x)\big)$

1. Grand exemple guidé

Énoncé. Dériver la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$

Identifier la fonction intérieure et la fonction extérieure

fonction intérieure : $u(x) = x^2 + 1$ ;
fonction extérieure : $v(X) = \sqrt{X}$ .

Comme $x^2 + 1 > 0$ pour tout réel $x$ , la fonction $f$ est bien définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ .

Dériver la fonction extérieure

La dérivée de $v(X) = \sqrt{X}$ est :

$v'(X) = \frac{1}{2\sqrt{X}}$

Remplacer $X$ par $u(x)$ , sans toucher à l'intérieur :

$v'\big(u(x)\big) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}}$

Multiplier par la dérivée de la fonction intérieure

La dérivée de $u(x) = x^2 + 1$ est $u'(x) = 2x$ . Donc :

$f'(x) = u'(x) \times g'\big(u(x)\big) = 2x \times \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}}$

Simplifier

Simplifier par $2$ :

$f'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Le dénominateur est toujours strictement positif : le signe de $f'(x)$ est celui de $x$ . La fonction $f$ est donc décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0]$ et croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$ .

Reconnaître les principales formes à dériver

Dans chaque ligne, $u$ est une fonction dérivable.

Forme de $f$	Dérivée $f'$	Condition	Exemple
$u^n$	$n \, u' \, u^{n-1}$		$\left((3x-1)^4\right)' = 4 \times 3 \times (3x-1)^3 = 12(3x-1)^3$
$e^{u}$	$u' \, e^{u}$		$\left(e^{x^2 - 3x}\right)' = (2x - 3)\,e^{x^2 - 3x}$
$\ln(u)$	$\dfrac{u'}{u}$	$u > 0$	$\left(\ln(x^2+1)\right)' = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$
$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$	$u > 0$	$\left(\sqrt{2x+1}\right)' = \dfrac{2}{2\sqrt{2x+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}$
$\dfrac{1}{u}$	$-\dfrac{u'}{u^2}$	$u \neq 0$	$\left(\dfrac{1}{x+4}\right)' = -\dfrac{1}{(x+4)^2}$

Cas particulier très fréquent : quand $u(x) = ax + b$ , on a $u' = a$ , et la formule devient $\big(v(ax+b)\big)' = a \times v'(ax+b)$ . Par exemple, $\left(e^{2x}\right)' = 2e^{2x}$ .

2. Erreurs fréquentes

Mal identifier les fonctions intérieure et extérieure et mal appliquer la formule de dérivation

Identifier d'abord $u$ et $g$ , puis appliquer la formule dans l'ordre : dériver $g$ , remplacer par $u(x)$ , multiplier par $u'$ .

Pour $f(x) = (3x - 1)^4$ , la fonction intérieure est $u(x) = 3x - 1$ et la fonction extérieure est $g(X) = X^4$ . Dériver comme si $3x - 1$ était $x$ donnerait $4(3x-1)^3$ , ce qui est faux.

Oublier de multiplier par la dérivée de la fonction intérieure

C'est l'erreur la plus fréquente.

$\left(e^{2x}\right)' = 2e^{2x}$ , et non $e^{2x}$ .

Pour $f(x) = (3x - 1)^4$ : $f'(x) = 4(3x-1)^3 \times 3 = 12(3x-1)^3$ , et non $4(3x-1)^3$ .

Se tromper dans les dérivées usuelles

Réviser les dérivées des fonctions de base :

$\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ;
$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ ;
$\left(\ln(x)\right)' = \dfrac{1}{x}$ ;
$\left(e^x\right)' = e^x$ .

Faire une erreur de calcul ou de simplification dans le résultat final

Simplifier avec soin, une étape à la fois.

Pour $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ , on obtient $\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}}$ . Simplifier par $2$ donne $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ , et non $\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ (le $x$ du numérateur reste).