Principes additif et multiplicatif
Dénombrer, c'est compter le nombre de possibilités d'une situation, sans les lister une par une. Cette fiche présente les deux réflexes de base : additionner ou multiplier.
1. Principe additif
Quand l'utiliser
Utiliser le principe additif quand le problème se sépare en plusieurs cas, et qu'on se trouve dans un seul de ces cas à la fois : on choisit soit une chose, soit une autre.
La règle
Si les cas sont distincts (aucune possibilité n'appartient à deux cas à la fois), le nombre total de possibilités est la somme des nombres de possibilités de chaque cas.
Identifier les différentes situations possibles dans un énoncé
Repérer les mots qui annoncent des cas séparés : « soit... soit... », « ou », « dans un cas... dans l'autre ».
Avant d'additionner, vérifier que les cas ne se chevauchent pas : aucune possibilité ne doit être comptée deux fois.
Exemple
Une bibliothèque contient 12 romans, 8 bandes dessinées et 5 documentaires. On veut emprunter un seul livre. Combien de choix a-t-on ?
Le livre est soit un roman, soit une bande dessinée, soit un documentaire. Ces trois catégories sont séparées : aucun livre n'est dans deux catégories.
Il y a 25 choix possibles.
2. Principe multiplicatif
Quand l'utiliser
Utiliser le principe multiplicatif quand une situation se déroule en plusieurs étapes successives, et qu'on réalise toutes les étapes l'une après l'autre.
Pour chaque étape, déterminer le nombre de choix possibles
Découper la situation en étapes, puis se demander, pour chacune : « Combien de choix ai-je à cette étape ? »
Multiplier les possibilités des différentes étapes
Le nombre total de possibilités est le produit des nombres de choix de chaque étape.
Pourquoi multiplier ? Si la première étape offre 3 choix, chacun de ces 3 choix ouvre le même nombre de possibilités pour la deuxième étape. On compte donc « 3 fois » ce nombre, et ainsi de suite.
Exemple
Un restaurant propose un menu avec une entrée, un plat et un dessert : 3 entrées, 4 plats et 2 desserts au choix. Combien de menus différents peut-on composer ?
Choisir successivement :
- l'entrée : 3 choix ;
- le plat : 4 choix ;
- le dessert : 2 choix.
On peut composer 24 menus différents.