Les combinaisons

Cette fiche apprend à compter les groupes : des situations où l'on choisit des éléments sans se soucier de l'ordre. Tout repose sur une idée simple, détaillée dans la partie 1.

1. Reconnaître une combinaison

Identifier une situation où l'on choisit $k$ éléments parmi $n$

Une combinaison de $k$ éléments parmi $n$ est un groupe de $k$ éléments choisis dans un ensemble de $n$ éléments, sans ordre et sans répétition.

Repérer les situations typiques : former un comité, choisir une équipe, tirer plusieurs boules en même temps, recevoir une main de cartes.

Exemple : choisir 3 élèves parmi 10 pour former un comité.

Test à faire à chaque fois : échanger deux éléments change-t-il le résultat ? Pour un comité, choisir Alice puis Bob ou Bob puis Alice donne le même comité : l'ordre ne compte pas. C'est donc une combinaison.

Comprendre pourquoi l'ordre ne crée pas de nouveau choix

On prend 4 élèves, $A$ , $B$ , $C$ et $D$ , et forme des groupes de 3.

Si l'ordre comptait, on aurait des listes ordonnées. Compter ces listes, comme dans la fiche sur les $k$ -uplets :

$4 \times 3 \times 2 = 24 \text{ listes}$

Mais regardons le groupe $\{A,\ B,\ C\}$ . Il donne $3! = 6$ listes différentes :

$ABC,\ ACB,\ BAC,\ BCA,\ CAB,\ CBA$

Ces 6 listes représentent un seul et même groupe. Il en va de même pour chaque groupe : chaque groupe est compté $3! = 6$ fois dans les 24 listes.

Le nombre de groupes est donc :

$\frac{24}{6} = 4$

Les 4 groupes sont $\{A, B, C\}$ , $\{A, B, D\}$ , $\{A, C, D\}$ et $\{B, C, D\}$ .

À retenir : changer l'ordre ne crée pas de nouveau groupe, il faut donc diviser pour ne pas compter plusieurs fois le même groupe.

2. Propriétés et calcul

Notation $\binom{n}{k}$

Le nombre de combinaisons de $k$ éléments parmi $n$ se note :

$\binom{n}{k}$

Se lit « $k$ parmi $n$ ». Dans l'exemple précédent, $\dbinom{4}{3} = 4$ .

Propriétés

Quelques valeurs à connaître :

$\dbinom{n}{0} = 1$ : il n'y a qu'une seule façon de ne rien choisir ;
$\dbinom{n}{n} = 1$ : il n'y a qu'une seule façon de tout choisir ;
$\dbinom{n}{1} = n$ : choisir 1 élément parmi $n$ , il y a $n$ choix.

Symétrie. Pour tout entier $k$ entre $0$ et $n$ :

$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$

Choisir $k$ éléments revient à choisir les $n - k$ éléments que l'on laisse de côté. Cette propriété permet de simplifier : $\dbinom{10}{7} = \dbinom{10}{3}$ .

Relation de Pascal : Pour $0 \leq k \leq n - 1$ :

$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$

Vérification : $\dbinom{4}{1} + \dbinom{4}{2} = 4 + 6 = 10 = \dbinom{5}{2}$ .

Utiliser la méthode

Remarque : $\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \dots \times 2 \times 1}{3! \times 7!}$ 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

On peut donc simplifier par 7! Donc : $\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3!}$

Pour calculer $\dbinom{n}{k}$ , on reprend le raisonnement de la partie 1 en deux temps :

Compter les listes de $k$ éléments distincts, en remplissant les places une par une : $n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1)$ , soit $k$ facteurs.
Diviser par $k!$ , car chaque groupe a été compté $k!$ fois (une fois pour chaque ordre possible).

$\binom{n}{k} = \frac{n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1)}{k!}$

Cette formule s'écrit aussi avec des factorielles :

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$

Exemple : combien de comités de 3 élèves peut-on former parmi 10 ?

$\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120$

Il y a 120 comités possibles.

Autre exemple : combien de façons de choisir 2 boules parmi 5, en les tirant en même temps ?

$\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

La calculatrice possède aussi une touche pour calculer directement $\dbinom{n}{k}$ .