Synthèse : Quelle méthode de dénombrement utiliser ?

Face à un exercice de dénombrement, la difficulté est souvent de savoir quoi calculer. Cette fiche donne trois questions à se poser pour choisir la bonne méthode à coup sûr.

1. Comprendre ce qu'on cherche et questions à se poser

Les 4 situations à reconnaître

Dans une question de dénombrement, on cherche toujours l'une de ces quatre choses :

Un $k$ -uplet avec répétition : une liste ordonnée de $k$ éléments, où un même élément peut apparaître plusieurs fois.
Un $k$ -uplet d'éléments distincts : une liste ordonnée de $k$ éléments, tous différents.
Une permutation : un rangement de tous les éléments d'un ensemble dans un certain ordre.
Une combinaison : un groupe de $k$ éléments choisis parmi $n$ , sans ordre.

Les questions à se poser

Se poser les trois questions suivantes, dans cet ordre.

Question 1 : l'ordre compte-t-il ?

Test simple : échanger deux éléments change-t-il le résultat ?

Non, l'ordre ne compte pas (on forme un groupe, un comité, une main de cartes) : c'est une combinaison.
Oui, l'ordre compte (code, classement, rangement) : passer à la question 2.

Question 2 : utilise-t-on tous les éléments ?

Oui, on range tous les éléments : c'est une permutation.
Non, on n'en choisit que $k$ parmi $n$ : passer à la question 3.

Question 3 : un même élément peut-il être choisi plusieurs fois ?

Oui, les répétitions sont possibles : c'est un $k$ -uplet avec répétition.
Non, tous les éléments sont différents : c'est un $k$ -uplet d'éléments distincts.

Résumé : la méthode à utiliser

Situation	Calcul
$k$ -uplet avec répétition	$n^k$
$k$ -uplet d'éléments distincts	$n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1)$
Permutation	$n!$
Combinaison	$\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$

Un exemple pour chaque situation

Exemple 1 : $k$ -uplet avec répétition. Combien de codes à 4 chiffres peut-on former, les chiffres pouvant se répéter ?

L'ordre compte (un code), on ne range pas tout, et les répétitions sont permises :

$10^4 = 10\,000$

Exemple 2 : $k$ -uplet d'éléments distincts. Huit coureurs participent à une course. Combien y a-t-il de podiums possibles (1er, 2e, 3e) ?

L'ordre compte (le 1er n'est pas le 3e), on n'en choisit que 3 sur 8, et un coureur ne peut pas occuper deux places :

$8 \times 7 \times 6 = 336$

Exemple 3 : permutation. De combien de façons peut-on ranger 5 livres différents sur une étagère ?

L'ordre compte et tous les livres sont utilisés :

$5! = 120$

Exemple 4 : combinaison. Dans une classe de 10 élèves, combien de comités de 3 élèves peut-on former ?

Un comité est un groupe : l'ordre ne compte pas.

$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\,7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

Attention aux énoncés qui se ressemblent. Choisir 2 élèves parmi 10 :

comme président et secrétaire : l'ordre compte (échanger les deux change le résultat), c'est un $2$ -uplet d'éléments distincts : $10 \times 9 = 90$ ;
comme deux délégués : l'ordre ne compte pas, c'est une combinaison : $\dbinom{10}{2} = 45$ .