Fiche de synthèse — Convexité

1. Définition et interprétation graphique

Une fonction $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ est :

• Convexe si sa courbe est située au-dessus de ses tangentes (ça fait un sourire heureux).
• Concave si sa courbe est située au-dessous de ses tangentes (ça fait un sourire triste).

2. Le signe de la dérivée seconde

Pour une fonction $f$ deux fois dérivable sur $I$ :

• Si $f''(x)\geq 0$ sur $I$, alors $f$ est convexe sur $I$.
• Si $f''(x)\leq 0$ sur $I$, alors $f$ est concave sur $I$.

Lien avec la dérivée première

• Si $f'$ est croissante, alors $f$ est convexe.
• Si $f'$ est décroissante, alors $f$ est concave.

3. Point d'inflexion

Un point de la courbe où la convexité change est appelé point d'inflexion.

Pour rechercher un point d'inflexion :

1. Étudier le signe de $f''(x)$.
2. Vérifier si ce signe change en une valeur $a$.
3. Si la convexité change en $a$, le point d'inflexion est $(a;f(a))$.

Attention : l'annulation de $f''(a)$ ne suffit pas à prouver qu'il y a un point d'inflexion.

4. Réflexes essentiels

• Étudier la convexité : calculer $f''(x)$ puis étudier son signe.
• Déterminer les intervalles de convexité et de concavité : dresser le tableau de signe de $f''$.
• Trouver un point d'inflexion : vérifier le changement de signe de $f''$.

À retenir : le signe de $f''$ détermine la convexité, tandis que son changement de signe permet de repérer un point d'inflexion.