Étudier la convexité d'une fonction

Cette fiche donne une méthode en quatre étapes pour trouver où une fonction est convexe ou concave. Un grand exemple guidé la déroule de A à Z.

1. Étudier la convexité d'une fonction

Lien entre le signe de $f''$ et la convexité/concavité

Propriété. Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ :

si $f''(x) \geq 0$ sur $I$ , alors $f$ est convexe sur $I$ ;
si $f''(x) \leq 0$ sur $I$ , alors $f$ est concave sur $I$ .

Pourquoi ? La dérivée seconde $f''$ indique comment varie $f'$ , c'est-à-dire la pente des tangentes :

$f'' \geq 0$ : $f'$ est croissante, la pente des tangentes augmente, la courbe se courbe vers le haut : $f$ est convexe ;
$f'' \leq 0$ : $f'$ est décroissante, la pente diminue, la courbe se courbe vers le bas : $f$ est concave.

Grand exemple guidé de A à Z

Énoncé. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$

Étudier la convexité de $f$ : déterminer les intervalles sur lesquels elle est convexe et ceux sur lesquels elle est concave.

Calcul de la dérivée seconde

La dérivée seconde $f''$ est la dérivée de la dérivée : on dérive la fonction $f$ deux fois.

La fonction $f$ est un polynôme, donc dérivable autant de fois que l'on veut.

Première dérivée :

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

Deuxième dérivée :

$f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$

La forme factorisée $6(x - 1)$ sera pratique pour étudier le signe.

Étude du signe de la dérivée seconde

Chercher quand $f''(x)$ est positif, nul ou négatif.

$f''(x) = 0 \iff x = 1$ ;
$f''(x) > 0 \iff 6(x - 1) > 0 \iff x > 1$ ;
$f''(x) < 0 \iff x < 1$ .

Résumer dans un tableau de signes :

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
Signe de $f''(x)$		$-$	$0$	$+$

Détermination des intervalles de convexité et de concavité

D'après le tableau de signes :

$f''(x) \leq 0$ sur $]-\infty\ ;\ 1]$ , donc $f$ est concave sur $]-\infty\ ;\ 1]$ ;
$f''(x) \geq 0$ sur $[1\ ;\ +\infty[$ , donc $f$ est convexe sur $[1\ ;\ +\infty[$ .

La courbe de $f$ passe donc de concave à convexe en $x = 1$ .

Vérification rapide : $f''(0) = -6 < 0$ , donc concave près de $0$ ; $f''(2) = 6 > 0$ , donc convexe près de $2$ . Les résultats sont cohérents.

Rédaction de la conclusion :

La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ , et $f''(x) = 6(x - 1)$ . Ainsi $f''(x) \leq 0$ sur $]-\infty\ ;\ 1]$ et $f''(x) \geq 0$ sur $[1\ ;\ +\infty[$ . La fonction $f$ est donc concave sur $]-\infty\ ;\ 1]$ et convexe sur $[1\ ;\ +\infty[$ .