Convexité et concavité

1. Fonction convexe

Définition

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . On dit que $f$ est convexe sur $I$ si sa courbe est située au-dessus de chacune de ses tangentes, sur $I$ .

Exemple : $f(x) = x^2$ . La tangente en $x = 1$ a pour équation $y = 2x - 1$ . Comparer la courbe et la tangente :

$x^2 - (2x - 1) = (x - 1)^2 \geq 0$

La courbe est au-dessus de la tangente. Et cela marche pour toutes les tangentes : $x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

Interprétation graphique

Une courbe convexe a une forme de coupe (un « U ») : elle se courbe vers le haut.

Quand on la parcourt de gauche à droite, les tangentes « tournent vers le haut » : leur pente augmente.

Exemples de fonctions convexes : $x^2$ et $e^x$ , sur $\mathbb{R}$ .

Position de la courbe par rapport aux cordes

Une corde est un segment qui relie deux points de la courbe.

Pour une fonction convexe, la courbe est au-dessous de ses cordes : entre deux points de la courbe, la courbe passe sous le segment qui les relie.

Exemple : $f(x) = x^2$ . La corde reliant $A(0\ ;\ 0)$ et $B(2\ ;\ 4)$ est sur la droite d'équation $y = 2x$ . Pour $x \in [0\ ;\ 2]$ :

$x^2 \leq 2x \quad \Longleftrightarrow \quad x(x - 2) \leq 0$

L'inégalité est vraie sur $[0\ ;\ 2]$ : la courbe est sous la corde.

2. Fonction concave

Définition

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . On dit que $f$ est concave sur $I$ si sa courbe est située au-dessous de chacune de ses tangentes, sur $I$ .

Exemple : $f(x) = -x^2$ . La tangente en $x = 1$ a pour équation $y = -2x + 1$ . Comparer la courbe et la tangente :

$-x^2 - (-2x + 1) = -(x - 1)^2 \leq 0$

La courbe est en-dessous de la tangente : $-x^2$ est concave sur $\mathbb{R}$ .

Interprétation graphique

Une courbe concave a une forme de dôme (un « ∩ ») : elle se courbe vers le bas.

Quand on la parcourt de gauche à droite, les tangentes « tournent vers le bas » : leur pente diminue.

Exemples de fonctions concaves : $-x^2$ sur $\mathbb{R}$ , et $\sqrt{x}$ sur $]0\ ;\ +\infty[$ .

Position de la courbe par rapport aux cordes

Pour une fonction concave, la courbe est au-dessus de ses cordes.

Exemple : $f(x) = -x^2$ . La corde reliant $A(0\ ;\ 0)$ et $B(2\ ;\ -4)$ est sur la droite d'équation $y = -2x$ . Pour $x \in [0\ ;\ 2]$ :

$-x^2 \geq -2x \quad \Longleftrightarrow \quad x(x - 2) \leq 0$

L'inégalité est vraie sur $[0\ ;\ 2]$ : la courbe est au-dessus de la corde.

À retenir

	Fonction convexe	Fonction concave
Forme de la courbe	coupe (« U »)	dôme (« ∩ »)
Position par rapport aux tangentes	au-dessus	au-dessous
Position par rapport aux cordes	au-dessous	au-dessus
Pente des tangentes (de gauche à droite)	augmente	diminue