Fiche de synthèse — Continuité et théorème de la bijection

1. Continuité

Une fonction $f$ est continue en $a$ si :

\lim_{x\to a}f(x)=f(a)

Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de cet intervalle.

Fonctions usuelles

Les fonctions polynomiales, exponentielles et logarithmes sont continues sur leur domaine de définition. Les fonctions rationnelles sont continues là où leur dénominateur ne s'annule pas.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si $f$ est continue sur $[a;b]$ , alors toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte au moins une fois par la courbe sur $[a;b]$ .

En particulier, si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, alors l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]a;b[$ .

Cela se retrouve facilement : si $f(a) = -2$ et $f(b) = 2$ alors $f(x) = 0$ a une solution unique sur $[a;b]$ car $0\in[-2;2]$ et que la fonction est continue et strictement croissante. Si elle est strictement décroissante, c'est pareil avec $f(a) = 2$ et $f(b) = -2$ : $0$ est compris entre $f(b)$ et $f(a)$ . Dans tous les cas, il faut qu'elle soit strictement monotone.

2. Théorème de la bijection

Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ , alors elle réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$ .

Ainsi, pour tout réel $k\in f(I)$ , l'équation :

f(x)=k

admet une unique solution dans $I$ .

Pour prouver qu'une équation admet une unique solution

Pour démontrer que $f(x)=k$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[a;b]$ :

Vérifier que $f$ est continue sur $[a;b]$ .
Démontrer que $f$ est strictement monotone sur cet intervalle.
Vérifier que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ .

On peut alors conclure que l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution $\alpha\in[a;b]$ .

3. Encadrer une solution

Une fois l'existence et l'unicité de $\alpha$ établies, on peut obtenir un encadrement.

Si $f$ est strictement croissante et si :

f(a)<k<f(b)

alors :

a<\alpha<b

Si $f$ est strictement décroissante, le sens des inégalités sur les images est inversé.

Pour obtenir un encadrement plus précis, on peut comparer $k$ aux images de deux bornes rapprochées.

4. Réflexes essentiels

Prouver la continuité : vérifier que la fonction est continue sur l'intervalle considéré.
Prouver la stricte monotonie : étudier le signe de $f'(x)$ lorsque la fonction est dérivable.
Prouver l'existence d'une solution : utiliser le TVI ou vérifier que $k$ appartient à l'image de l'intervalle.
Prouver l'unicité : établir la stricte monotonie.
Encadrer une solution : comparer les images des bornes à la valeur recherchée.
Conclure correctement : préciser l'intervalle dans lequel la solution existe et est unique.

Attention : la continuité seule garantit l'existence d'une solution sous les conditions du TVI, mais pas son unicité. La stricte monotonie permet d'établir cette unicité.