La continuité

Une fonction continue est une fonction dont la courbe se trace « d'un seul trait ». Cette fiche donne la définition précise, puis les réflexes pour justifier rapidement qu'une fonction est continue.

1. Continuité

Définition de la continuité

Soit $f$ une fonction définie en un réel $a$ et autour de $a$ . On dit que $f$ est continue en $a$ si :

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Autrement dit : quand $x$ se rapproche de $a$ , la valeur $f(x)$ se rapproche de $f(a)$ . Il n'y a pas de « saut » en $a$ .

Exemple : $f(x) = x^2$ en $a = 2$ . Quand $x$ se rapproche de 2, $x^2$ se rapproche de 4, et $f(2) = 4$ . La fonction est continue en 2.

Interprétation graphique

Graphiquement, $f$ est continue en $a$ si la courbe peut se tracer sans lever le crayon autour de l'abscisse $a$ .

La courbe n'est pas continue en $a$ lorsqu'elle présente :

un saut : la courbe s'arrête à une ordonnée et reprend à une autre ordonnée ;
un point détaché : le point d'abscisse $a$ ne se trouve pas dans le prolongement du reste de la courbe.

Exemple : la fonction $g$ définie par $g(x) = x$ si $x < 1$ et $g(x) = x + 2$ si $x \geq 1$ . Pour $x$ strictement inférieur à 1, la courbe est proche de l'ordonnée 1, mais en $x = 1$ elle est à l'ordonnée 3. Il faut lever le crayon : $g$ n'est pas continue en 1.

2. Continuité sur un intervalle

Définition d'une fonction continue sur un intervalle

Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$ .

Continuité en tout point de l'intervalle

Pour que $f$ soit continue sur $I$ , la condition doit être vraie pour chaque réel $a$ de $I$ , et pas seulement en quelques points.

Graphiquement, cela veut dire que la courbe de $f$ se trace sans lever le crayon sur toute la partie de $I$ .

Identifier graphiquement ou à partir d'une expression si une fonction est continue sur un intervalle

Graphiquement : parcourir la courbe de gauche à droite sur l'intervalle et repérer les sauts ou les points détachés. S'il y en a un, la fonction n'est pas continue sur l'intervalle.

À partir d'une expression :

si la fonction est construite avec des fonctions usuelles (parties 3 et 4), on conclut avec les résultats du cours ;
si la fonction est définie par morceaux, la continuité est à vérifier au point de raccord. Comparer trois nombres : la limite quand $x$ s'approche de $a$ par la gauche (notée $\lim\limits_{x \to a^-}$ ), la limite par la droite (notée $\lim\limits_{x \to a^+}$ ), et $f(a)$ . La fonction est continue en $a$ si ces trois nombres sont égaux.

Exemple (fonction continue) : $f(x) = x^2 + 1$ si $x < 2$ et $f(x) = 3x - 1$ si $x \geq 2$ .

Par la gauche : $\lim\limits_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 + 1 = 5$ .
Par la droite : $\lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = 3 \times 2 - 1 = 5$ .
Valeur : $f(2) = 5$ .

Les trois nombres sont égaux : $f$ est continue en 2.

Exemple (fonction non continue) : la fonction $g$ de la partie 1.

Par la gauche : $\lim\limits_{x \to 1^-} g(x) = 1$ .
Par la droite : $\lim\limits_{x \to 1^+} g(x) = 3$ .

Les limites sont différentes : $g$ n'est pas continue en 1.

3. Fonctions usuelles continues

Fonctions polynômes

Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$ .

Exemple : $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Fonctions rationnelles sur leur domaine de définition

Une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes. Elle est continue sur chaque intervalle de son domaine de définition, c'est-à-dire partout où le dénominateur ne s'annule pas.

Exemple : $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est continue sur $]-\infty\ ;\ 0[$ et sur $]0\ ;\ +\infty[$ . Elle n'est pas définie en 0, donc on ne peut pas parler de continuité sur un intervalle qui contient 0.

Fonctions usuelles

Fonction	Continue sur
racine carrée $\sqrt{x}$	$[0\ ;\ +\infty[$
exponentielle $e^x$	$\mathbb{R}$
logarithme népérien $\ln(x)$	$]0\ ;\ +\infty[$
sinus $\sin(x)$ et cosinus $\cos(x)$	$\mathbb{R}$
valeur absolue $\lvert x \rvert$	$\mathbb{R}$

Utiliser ces résultats pour justifier rapidement la continuité d'une fonction

Pour justifier qu'une fonction est continue, citer la famille à laquelle elle appartient.

« La fonction $f$ est une fonction polynôme, donc elle est continue sur $\mathbb{R}$ . »

« La fonction $\exp$ est continue sur $\mathbb{R}$ . »

Autre raccourci utile : toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. La réciproque est fausse : la valeur absolue est continue en 0 mais n'y est pas dérivable.

4. Opérations sur la fonction continue

Somme, différence et produit

Si $f$ et $g$ sont continues sur un intervalle $I$ , alors $f + g$ , $f - g$ et $f \times g$ sont continues sur $I$ .

Exemple : $h(x) = e^x + 3x^2$ est la somme de $e^x$ (continue sur $\mathbb{R}$ ) et d'un polynôme (continu sur $\mathbb{R}$ ). Donc $h$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Quotient lorsque le dénominateur ne s'annule pas

Si $f$ et $g$ sont continues sur $I$ et si $g$ ne s'annule pas sur $I$ , alors $\dfrac{f}{g}$ est continue sur $I$ .

Exemple : $h(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 2}$ . Le numérateur et le dénominateur sont des polynômes, donc continus. Le dénominateur s'annule en 2. Donc $h$ est continue sur $]-\infty\ ;\ 2[$ et sur $]2\ ;\ +\infty[$ .

Déduire la continuité d'une fonction à partir de fonctions déjà connues comme continues

Procéder en quatre temps :

Décomposer la fonction en fonctions usuelles reliées par des opérations.
Citer la continuité de chaque brique.
Vérifier les conditions éventuelles (dénominateur non nul, valeurs de la fonction intérieure dans le domaine de la fonction extérieure).
Conclure sur l'intervalle voulu.

Exemple : montrer que $f(x) = \dfrac{e^x}{x^2 + 1}$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Le numérateur $e^x$ est continu sur $\mathbb{R}$ .
Le dénominateur $x^2 + 1$ est un polynôme, donc continu sur $\mathbb{R}$ .
Pour tout réel $x$ , $x^2 + 1 > 0$ , donc le dénominateur ne s'annule jamais.

Le quotient est continu sur $\mathbb{R}$ .