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Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Le dé truqué et la simulation

Un dé à six faces est truqué : la face $6$ sort avec la probabilité $0{,}25$ , et chacune des cinq autres faces sort avec la même probabilité. On note $X$ le nombre obtenu en lançant ce dé.

Déterminer la probabilité de chacune des faces $1$ à $5$ et présenter la loi de $X$ .
Calculer $E(X)$ et comparer avec l'espérance d'un dé équilibré.
Calculer la variance puis l'écart-type de $X$ (arrondir à $10^{-2}$ si nécessaire).

On simule $n$ lancers de ce dé. Compléter la fonction pour qu'elle renvoie la moyenne des $n$ résultats.

import random

def moyenne(n):
    valeurs = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
    poids = [0.15, 0.15, 0.15, 0.15, 0.15, 0.25]
    somme = 0
    for i in range(n):
        somme = somme + random.choices(valeurs, poids)[0]
    return ......

Que peut-on prévoir pour la valeur renvoyée par moyenne(100000) ? Justifier.

Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Corrigé — Le dé truqué et la simulation

Les cinq autres faces se partagent $1 - 0{,}25 = 0{,}75$ , soit $0{,}15$ chacune :

$x_i$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
$P(X=x_i)$ $0{,}15$ $0{,}15$ $0{,}15$ $0{,}15$ $0{,}15$ $0{,}25$
$E(X) = \sum x_i\,P(X=x_i) = 1 \times 0{,}15 + 2 \times 0{,}15 + 3 \times 0{,}15 + 4 \times 0{,}15 + 5 \times 0{,}15 + 6 \times 0{,}25 = 3{,}75$ .

Un dé équilibré a pour espérance $3{,}5$ : le dé truqué donne en moyenne un résultat plus élevé.
$E(X^2) = 1^2 \times 0{,}15 + 2^2 \times 0{,}15 + 3^2 \times 0{,}15 + 4^2 \times 0{,}15 + 5^2 \times 0{,}15 + 6^2 \times 0{,}25 = 17{,}25$ .

D'après la formule de König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 17{,}25 - 3{,}75^2 = 3{,}1875$ .

L'écart-type vaut $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} \approx 1{,}79$ .
La fonction renvoie somme / n :
```
    return somme / n
```
À chaque tour de boucle, random.choices(valeurs, poids)[0] simule un lancer du dé truqué.
D'après la loi des grands nombres, quand le nombre de lancers est très grand, la moyenne observée se rapproche de l'espérance. On peut donc prévoir une valeur proche de $E(X) = 3{,}75$ (avec un écart typique de l'ordre de $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \approx 0{,}006$ ).