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Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Deux jeux, même espérance

Deux jeux coûtent chacun $2$ € la partie. Dans le jeu A, le joueur gagne $10$ € avec la probabilité $0{,}2$ et rien sinon. Dans le jeu B, le joueur gagne $4$ € avec la probabilité $0{,}5$ et rien sinon. On note $X_A$ et $X_B$ les sommes reçues (sans retrancher la mise).

Donner les lois de $X_A$ et $X_B$ .
Calculer $E(X_A)$ et $E(X_B)$ . Que remarque-t-on par rapport à la mise ?
Calculer les écarts-types $\sigma(X_A)$ et $\sigma(X_B)$ .
Calculer, pour chaque jeu, la probabilité que le joueur réalise un gain net strictement positif.
Les deux jeux ont la même espérance. Expliquer en quoi ils diffèrent et dans quel cas on choisirait chacun.

Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Corrigé — Deux jeux, même espérance

Jeu A :

$x_i$ $0$ $10$
$P(X_A=x_i)$ $0{,}8$ $0{,}2$

Jeu B :

$x_i$ $0$ $4$
$P(X_B=x_i)$ $0{,}5$ $0{,}5$
$E(X_A) = 10 \times 0{,}2 = 2$ et $E(X_B) = 4 \times 0{,}5 = 2$ .

Les deux espérances sont égales à la mise : les gains nets ont une espérance nulle, les deux jeux sont équitables.
Jeu A : $E(X_A^2) = 100 \times 0{,}2 = 20$ , $V(X_A) = 20 - 2^2 = 16$ et $\sigma(X_A) = 4$ .

Jeu B : $E(X_B^2) = 16 \times 0{,}5 = 8$ , $V(X_B) = 8 - 2^2 = 4$ et $\sigma(X_B) = 2$ .
Jeu A : gain net positif si $X_A = 10$ , soit une probabilité de $0{,}2$ .

Jeu B : gain net positif si $X_B = 4$ , soit une probabilité de $0{,}5$ .
L'écart-type mesure la dispersion des gains autour de la moyenne. Le jeu A est plus dispersé ( $\sigma = 4$ ) : on gagne rarement ( $20\ \%$ des parties) mais beaucoup. Le jeu B est plus régulier ( $\sigma = 2$ ) : on gagne souvent ( $50\ \%$ des parties) mais moins.

Un joueur qui cherche un gros gain même improbable choisira A ; celui qui préfère un résultat plus régulier choisira B.