Pour que le moteur comptabilise tes réponses, il faudra les entrer ici quand tu auras fini.

Le PDF s'ouvre dans un nouvel onglet : tu peux l'enregistrer sur ton ordinateur ou l'imprimer.

Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Le contrat d'assurance

Une compagnie d'assurance propose un contrat annuel de $350$ €. Sur une année, un assuré a un sinistre de petite ampleur avec la probabilité $0{,}07$ , qui coûte $800$ € à la compagnie, un sinistre grave avec la probabilité $0{,}03$ , qui coûte $6\,000$ €, et aucun sinistre sinon. On note $C$ le coût annuel pour la compagnie d'un assuré et $B$ son bénéfice (prime moins coût).

Donner la loi de probabilité de $C$ sous forme de tableau.
Calculer $E(C)$ et interpréter.
Exprimer $B$ en fonction de $C$ . Calculer $E(B)$ et interpréter.
Calculer la variance puis l'écart-type de $C$ (arrondir à l'unité si nécessaire).
La compagnie a $10\,000$ assurés. Quel bénéfice total peut-elle espérer ? Quelle prime minimale doit-elle fixer pour espérer au moins $50$ € de bénéfice moyen par contrat ?

Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Corrigé — Le contrat d'assurance

La probabilité de n'avoir aucun sinistre est $1 - 0{,}07 - 0{,}03 = 0{,}9$ :

$x_i$ $0$ $800$ $6\,000$
$P(C=x_i)$ $0{,}9$ $0{,}07$ $0{,}03$
$E(C) = \sum x_i\,P(C=x_i) = 0 \times 0{,}9 + 800 \times 0{,}07 + 6\,000 \times 0{,}03 = 236$ .

En moyenne, un assuré coûte $236$ € par an à la compagnie.
$B = 350 - C$ donc $E(B) = 350 - E(C) = 350 - 236 = 114$ .

La compagnie gagne en moyenne $114$ € par contrat et par an.
$E(C^2) = 0^2 \times 0{,}9 + 800^2 \times 0{,}07 + 6\,000^2 \times 0{,}03 = 1124\,800$ .

D'après la formule de König-Huygens : $V(C) = E(C^2) - E(C)^2 = 1124\,800 - 236^2 = 1069\,104$ .

L'écart-type vaut $\sigma(C) = \sqrt{V(C)} \approx 1\,034$ .
Bénéfice total espéré : $10\,000 \times 114 = 1\,140\,000$ €.

Avec une prime $P$ , le bénéfice moyen est $P - 236$ . On veut $P - 236 \geq 50$ , soit $P \geq 286$ . La prime minimale est de 286 €.