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Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Le maximum de deux dés

On lance deux dés équilibrés à six faces, discernables. On note $X$ le plus grand des deux nombres obtenus (si les deux dés donnent le même nombre, $X$ est ce nombre).

Soit $k$ un entier entre $1$ et $6$ . Justifier que $P(X \leq k) = \dfrac{k^2}{36}$ .
En déduire que $P(X = k) = \dfrac{2k-1}{36}$ pour $k$ de $1$ à $6$ , puis donner la loi de $X$ .
Calculer l'espérance de $X$ (arrondir à $10^{-2}$ ).
Calculer la variance puis l'écart-type de $X$ (arrondir à $10^{-2}$ si nécessaire).
Une partie coûte $4{,}5$ € et rapporte à la joueuse en euros la valeur de $X$ . Le jeu est-il favorable à la joueuse ? Justifier.

Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Corrigé — Le maximum de deux dés

Il y a $36$ issues équiprobables. L'événement $\{X \leq k\}$ signifie que chacun des deux dés donne un nombre de $1$ à $k$ : il y a $k \times k = k^2$ issues favorables. Donc $P(X \leq k) = \dfrac{k^2}{36}$ .
$P(X=k) = P(X \leq k) - P(X \leq k-1) = \dfrac{k^2 - (k-1)^2}{36} = \dfrac{2k-1}{36}$ . D'où la loi :

$x_i$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
$P(X=x_i)$ $\dfrac{1}{36}$ $\dfrac{1}{12}$ $\dfrac{5}{36}$ $\dfrac{7}{36}$ $0{,}25$ $\dfrac{11}{36}$
$E(X) = \sum x_i\,P(X=x_i) = 1 \times \dfrac{1}{36} + 2 \times \dfrac{1}{12} + 3 \times \dfrac{5}{36} + 4 \times \dfrac{7}{36} + 5 \times 0{,}25 + 6 \times \dfrac{11}{36} = \dfrac{161}{36}$ .

Soit $E(X) \approx 4{,}47$ .
$E(X^2) = 1^2 \times \dfrac{1}{36} + 2^2 \times \dfrac{1}{12} + 3^2 \times \dfrac{5}{36} + 4^2 \times \dfrac{7}{36} + 5^2 \times 0{,}25 + 6^2 \times \dfrac{11}{36} = \dfrac{791}{36}$ .

D'après la formule de König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = \dfrac{791}{36} - \left(\dfrac{161}{36}\right)^2 = \dfrac{2555}{1296}$ .

L'écart-type vaut $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} \approx 1{,}40$ .
Le gain net est $X - 4{,}5$ , d'espérance $E(X) - 4{,}5 \approx -0{,}028$ €.

L'espérance est négative : le jeu est très légèrement défavorable à la joueuse (elle perd environ 0,03 € par partie en moyenne).