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Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Le tirage de carte et la mise

Un jeu de $32$ cartes comprend $4$ as, $12$ figures (rois, dames, valets) et $16$ autres cartes. Un joueur tire une carte au hasard. S'il tire un as, il reçoit $15$ €. S'il tire une figure, il reçoit $3$ €. Sinon il ne reçoit rien. On note $Y$ la somme reçue, en euros. Pour jouer, le joueur doit payer une mise de $4$ €.

Déterminer la loi de probabilité de $Y$ .
Calculer l'espérance de $Y$ .
On note $G$ le gain net du joueur (somme reçue moins la mise). Exprimer $G$ en fonction de $Y$ , puis calculer $E(G)$ . Le jeu est-il favorable au joueur ?
Quelle mise $m$ rendrait le jeu équitable (espérance du gain net nulle) ?
Calculer la variance et l'écart-type de $Y$ (arrondir à $10^{-2}$ ). Que valent alors la variance et l'écart-type de $G$ ? Justifier.

Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Corrigé — Le tirage de carte et la mise

On a $P(Y=15) = \dfrac{4}{32}$ , $P(Y=3) = \dfrac{12}{32}$ et $P(Y=0) = \dfrac{16}{32}$ :

$x_i$ $0$ $3$ $15$
$P(Y=x_i)$ $0{,}5$ $0{,}375$ $0{,}125$
$E(Y) = \sum x_i\,P(Y=x_i) = 0 \times 0{,}5 + 3 \times 0{,}375 + 15 \times 0{,}125 = 3$ .

En moyenne, le joueur reçoit $3$ € par partie.
$G = Y - 4$ donc $E(G) = E(Y) - 4 = 3 - 4 = -1$ .

Le joueur perd en moyenne $1$ € par partie : le jeu est défavorable au joueur.
Le gain net est $Y - m$ ; le jeu est équitable si $E(Y) - m = 0$ , soit $m = E(Y) = 3$ . La mise équitable est de 3 €.
$E(Y^2) = 0^2 \times 0{,}5 + 3^2 \times 0{,}375 + 15^2 \times 0{,}125 = 31{,}5$ .

D'après la formule de König-Huygens : $V(Y) = E(Y^2) - E(Y)^2 = 31{,}5 - 3^2 = 22{,}5$ .

L'écart-type vaut $\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} \approx 4{,}74$ .

Comme $G = Y - 4$ , décaler la variable ne change pas sa dispersion : $V(G) = V(Y)$ et $\sigma(G) = \sigma(Y)$ (car $V(aY+b) = a^2V(Y)$ avec $a=1$ ).