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Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Une famille de trois enfants

Une famille a trois enfants. On suppose que chaque enfant est une fille ou un garçon avec la même probabilité, indépendamment des autres. On note $X$ le nombre de filles dans la famille.

Combien y a-t-il d'issues possibles (en tenant compte de l'ordre de naissance) ? Quelles valeurs $X$ peut-elle prendre ?
Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
Calculer la probabilité que la famille compte au moins deux filles.
Calculer l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat.
Calculer la variance puis l'écart-type de $X$ (arrondir à $10^{-3}$ si nécessaire).

Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Corrigé — Une famille de trois enfants

Il y a $2 \times 2 \times 2 = 8$ issues équiprobables. $X$ peut prendre les valeurs $0$ , $1$ , $2$ et $3$ .
Une seule issue donne $0$ fille, trois issues donnent $1$ fille, trois donnent $2$ filles, une donne $3$ filles :

$x_i$ $0$ $1$ $2$ $3$
$P(X=x_i)$ $0{,}125$ $0{,}375$ $0{,}375$ $0{,}125$
$P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3) = \dfrac38 + \dfrac18 = \dfrac12$ .
$E(X) = \sum x_i\,P(X=x_i) = 0 \times 0{,}125 + 1 \times 0{,}375 + 2 \times 0{,}375 + 3 \times 0{,}125 = 1{,}5$ .

Une famille de trois enfants compte en moyenne $1{,}5$ fille.
$E(X^2) = 0^2 \times 0{,}125 + 1^2 \times 0{,}375 + 2^2 \times 0{,}375 + 3^2 \times 0{,}125 = 3$ .

D'après la formule de König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 3 - 1{,}5^2 = 0{,}75$ .

L'écart-type vaut $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} \approx 0{,}866$ .