Pour que le moteur comptabilise tes réponses, il faudra les entrer ici quand tu auras fini.

Le PDF s'ouvre dans un nouvel onglet : tu peux l'enregistrer sur ton ordinateur ou l'imprimer.

Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Deux lancers de pièce

On lance deux fois de suite une pièce équilibrée. On note $X$ le nombre de « pile » obtenus.

Lister les quatre issues possibles de l'expérience (P pour pile, F pour face) et donner la valeur de $X$ pour chacune.
En déduire la loi de probabilité de $X$ .
Calculer $P(X \geq 1)$ .
Calculer l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat.
Calculer la variance puis l'écart-type de $X$ (arrondir à $10^{-3}$ si nécessaire).

Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Corrigé — Deux lancers de pièce

Les issues sont PP ( $X=2$ ), PF ( $X=1$ ), FP ( $X=1$ ) et FF ( $X=0$ ).
Chaque issue a pour probabilité $\dfrac14$ :

$x_i$ $0$ $1$ $2$
$P(X=x_i)$ $0{,}25$ $0{,}5$ $0{,}25$
$P(X \geq 1) = P(X=1) + P(X=2) = \dfrac12 + \dfrac14 = \dfrac34$ (ou $1 - P(X=0)$ ).
$E(X) = \sum x_i\,P(X=x_i) = 0 \times 0{,}25 + 1 \times 0{,}5 + 2 \times 0{,}25 = 1$ .

En moyenne, on obtient $1$ pile sur $2$ lancers.
$E(X^2) = 0^2 \times 0{,}25 + 1^2 \times 0{,}5 + 2^2 \times 0{,}25 = 1{,}5$ .

D'après la formule de König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 1{,}5 - 1^2 = 0{,}5$ .

L'écart-type vaut $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} \approx 0{,}707$ .