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Niveau 1 — Probabilités — 15 min

La loi à compléter

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $-1$ , $0$ , $2$ et $5$ avec les probabilités suivantes : $P(X=-1) = 0{,}1$ , $P(X=0) = 0{,}3$ , $P(X=2) = a$ et $P(X=5) = 0{,}2$ , où $a$ est un réel.

Déterminer la valeur de $a$ .
Présenter la loi de $X$ dans un tableau.
Calculer $P(X > 0)$ et $P(X \leq 2)$ .
Calculer l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat.
Calculer la variance puis l'écart-type de $X$ (arrondir à $10^{-3}$ si nécessaire).

Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Corrigé — La loi à compléter

La somme des probabilités vaut $1$ : $0{,}1 + 0{,}3 + a + 0{,}2 = 1$ , donc $a = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$ .
Avec $a = 0{,}4$ :

$x_i$ $-1$ $0$ $2$ $5$
$P(X=x_i)$ $0{,}1$ $0{,}3$ $0{,}4$ $0{,}2$
$P(X > 0) = P(X=2) + P(X=5) = 0{,}4 + 0{,}2 = 0{,}6$ .

$P(X \leq 2) = 0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}8$ .
$E(X) = \sum x_i\,P(X=x_i) = (-1) \times 0{,}1 + 0 \times 0{,}3 + 2 \times 0{,}4 + 5 \times 0{,}2 = 1{,}7$ .

Sur un grand nombre de réalisations de $X$ , la valeur moyenne obtenue se rapproche de $1{,}7$ .
$E(X^2) = (-1)^2 \times 0{,}1 + 0^2 \times 0{,}3 + 2^2 \times 0{,}4 + 5^2 \times 0{,}2 = 6{,}7$ .

D'après la formule de König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 6{,}7 - 1{,}7^2 = 3{,}81$ .

L'écart-type vaut $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} \approx 1{,}952$ .