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Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Le sac de jetons

Un sac contient $10$ jetons indiscernables au toucher : $5$ jetons portent le nombre $0$ , $3$ jetons portent le nombre $2$ et $2$ jetons portent le nombre $10$ . On tire un jeton au hasard et on note $X$ le nombre inscrit sur ce jeton, qui est le gain en euros du joueur.

Quelles valeurs la variable aléatoire $X$ peut-elle prendre ?
Déterminer la loi de probabilité de $X$ sous forme de tableau.
Calculer $P(X \geq 2)$ .
Calculer l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat.
Calculer la variance puis l'écart-type de $X$ (arrondir à $10^{-3}$ si nécessaire).

Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Corrigé — Le sac de jetons

$X$ peut prendre les valeurs $0$ , $2$ et $10$ .
Le tirage étant équiprobable :

$x_i$ $0$ $2$ $10$
$P(X=x_i)$ $0{,}5$ $0{,}3$ $0{,}2$

On vérifie que $0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1$ .
$P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=10) = 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5$ .
$E(X) = \sum x_i\,P(X=x_i) = 0 \times 0{,}5 + 2 \times 0{,}3 + 10 \times 0{,}2 = 2{,}6$ .

Si on joue un grand nombre de fois, le joueur gagne en moyenne $2{,}6$ € par partie.
$E(X^2) = 0^2 \times 0{,}5 + 2^2 \times 0{,}3 + 10^2 \times 0{,}2 = 21{,}2$ .

D'après la formule de König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 21{,}2 - 2{,}6^2 = 14{,}44$ .

L'écart-type vaut $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} \approx 3{,}800$ .