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Niveau 2 — Suites — 25 min

Suite récurrente homographique : suite auxiliaire, expression, limite

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ :

u_{n+1} = \dfrac{u_n}{u_n + 3}

Calculer $u_1$ et $u_2$ .
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n > 0$ .
On pose, pour tout entier naturel $n$ , $v_n = \dfrac{1}{u_n}$ . Justifier que $v_n$ est bien défini, puis démontrer que $v_{n+1} = 3v_n + 1$ .
On pose, pour tout entier naturel $n$ , $w_n = v_n + \frac{1}{2}$ . Démontrer que $(w_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
En déduire l'expression de $w_n$ , puis celle de $u_n$ , en fonction de $n$ .
Quelle est la limite de la suite $(u_n)$ , et quel est son sens de variation ?

Niveau 2 — Suites — 25 min

Corrigé — Suite récurrente homographique : suite auxiliaire, expression, limite

$u_1 = \frac{1}{4}$ et $u_2 = \frac{1}{13}$ .
Soit $P(n)$ : « $u_n > 0$ ».

Initialisation : $u_0 = 1 > 0$ .

Hérédité : supposons $u_n > 0$ . Alors $u_n + 3 > 0$ , donc $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{u_n + 3} > 0$ comme quotient de deux nombres strictement positifs.

Conclusion : pour tout entier naturel $n$ , $u_n > 0$ .
D'après la question 2, $u_n > 0$ donc $u_n \neq 0$ et $v_n = \dfrac{1}{u_n}$ est bien défini.

$v_{n+1} = \dfrac{1}{u_{n+1}} = \dfrac{u_n + 3}{u_n} = 1 + \dfrac{3}{u_n} = 3v_n + 1$ .
$w_{n+1} = v_{n+1} + \frac{1}{2} = 3v_n + 1 + \frac{1}{2} = 3v_n + \frac{3}{2} = 3\left(v_n + \frac{1}{2}\right) = 3 w_n$ .

Donc $(w_n)$ est géométrique de raison $3$ et de premier terme $w_0 = v_0 + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ .
Par conséquent $w_n = \dfrac{3}{2} \times 3^n$ et $v_n = w_n - \frac{1}{2} = \dfrac{3^{n+1} - 1}{2}$ .

$u_n = \dfrac{1}{v_n} = \dfrac{2}{3^{n+1} - 1}$ .

Contrôle : pour $n = 1$ , on retrouve $u_1 = \frac{1}{4}$ .
Comme $3 > 1$ , $3^n \to +\infty$ donc $v_n \to +\infty$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ .

Par ailleurs $v_n = \dfrac{1}{u_n} > 0$ , donc $v_{n+1} - v_n = 2 v_n + 1 > 0$ : la suite $(v_n)$ est strictement croissante et positive, donc $(u_n) = \left(\dfrac{1}{v_n}\right)$ est décroissante.