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Niveau 1 — Suites — 15 min

Suite définie par une fraction : forme réduite, variations, bornes, limite

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par

u_n = \frac{5n+14}{n+2}

Calculer $u_0$ , $u_1$ et $u_2$ .
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n = 5 + \dfrac{4}{n+2}$ .
Calculer $u_{n+1} - u_n$ en utilisant la question 2.
Quel est le sens de variation de la suite $(u_n)$ ?
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n > 5$ . En déduire que la suite $(u_n)$ est bornée.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ .

Niveau 1 — Suites — 15 min

Corrigé — Suite définie par une fraction : forme réduite, variations, bornes, limite

$u_0 = 7$ , $u_1 = \frac{19}{3}$ et $u_2 = 6$ .
$5 + \dfrac{4}{n+2} = \dfrac{5(n+2) + 4}{n+2} = \dfrac{5n + 10 + 4}{n+2} = \dfrac{5n + 14}{n+2} = u_n$ .
$u_{n+1} - u_n = \left(5 + \dfrac{4}{n+3}\right) - \left(5 + \dfrac{4}{n+2}\right) = \dfrac{4}{n+3} - \dfrac{4}{n+2} = -\dfrac{4}{(n+2)(n+3)}$ .
$u_{n+1} - u_n = \left(5 + \dfrac{4}{n+3}\right) - \left(5 + \dfrac{4}{n+2}\right) = \dfrac{4}{n+3} - \dfrac{4}{n+2} = -\dfrac{4}{(n+2)(n+3)}$ .

Ce quotient est strictement négatif, donc la suite $(u_n)$ est décroissante.
Pour tout $n$ , $\dfrac{4}{n+2} > 0$ donc $u_n = 5 + \dfrac{4}{n+2} > 5$ .

La suite est décroissante (question 4), donc pour tout $n$ , $u_n \leq u_0 = 7$ . Ainsi $5 < u_n \leq 7$ : la suite est bornée.
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{4}{n+2} = 0$ donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 5$ .