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Niveau 1 — Suites — 15 min

Suite définie par une fraction : forme réduite, variations, bornes, limite

On considère la suite (un)(u_n) définie pour tout entier naturel nn par

un=4n+1n+1u_n = \frac{4n+1}{n+1}

  1. Calculer u0u_0, u1u_1 et u2u_2.

  2. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, un=4−3n+1u_n = 4 - \dfrac{3}{n+1}.

  3. Calculer un+1−unu_{n+1} - u_n en utilisant la question 2.

  4. Quel est le sens de variation de la suite (un)(u_n) ?

  5. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, un<4u_n < 4. En déduire que la suite (un)(u_n) est bornée.

  6. Déterminer la limite de la suite (un)(u_n).

Niveau 1 — Suites — 15 min

Corrigé — Suite définie par une fraction : forme réduite, variations, bornes, limite

  1. u0=1u_0 = 1, u1=52u_1 = \frac{5}{2} et u2=3u_2 = 3.

  2. 4−3n+1=4(n+1)−3n+1=4n+4−3n+1=4n+1n+1=un4 - \dfrac{3}{n+1} = \dfrac{4(n+1) - 3}{n+1} = \dfrac{4n + 4 - 3}{n+1} = \dfrac{4n + 1}{n+1} = u_n.

  3. un+1−un=(4−3n+2)−(4−3n+1)=3n+1−3n+2=3(n+1)(n+2)u_{n+1} - u_n = \left(4 - \dfrac{3}{n+2}\right) - \left(4 - \dfrac{3}{n+1}\right) = \dfrac{3}{n+1} - \dfrac{3}{n+2} = \dfrac{3}{(n+1)(n+2)}.

  4. un+1−un=(4−3n+2)−(4−3n+1)=3n+1−3n+2=3(n+1)(n+2)u_{n+1} - u_n = \left(4 - \dfrac{3}{n+2}\right) - \left(4 - \dfrac{3}{n+1}\right) = \dfrac{3}{n+1} - \dfrac{3}{n+2} = \dfrac{3}{(n+1)(n+2)}.

    Ce quotient est strictement positif, donc la suite (un)(u_n) est croissante.

  5. Pour tout nn, 3n+1>0\dfrac{3}{n+1} > 0 donc un=4−3n+1<4u_n = 4 - \dfrac{3}{n+1} < 4.

    La suite est croissante (question 4), donc pour tout nn, un≥u0=1u_n \geq u_0 = 1. Ainsi 1≤un<41 \leq u_n < 4 : la suite est bornée.

  6. lim⁡n→+∞3n+1=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3}{n+1} = 0 donc lim⁡n→+∞un=4\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 4.