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Niveau 1 — Suites — 15 min

Suite définie par une fraction : forme réduite, variations, bornes, limite

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par

u_n = \frac{3n+2}{n+3}

Calculer $u_0$ , $u_1$ et $u_2$ .
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n = 3 - \dfrac{7}{n+3}$ .
Calculer $u_{n+1} - u_n$ en utilisant la question 2.
Quel est le sens de variation de la suite $(u_n)$ ?
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n < 3$ . En déduire que la suite $(u_n)$ est bornée.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ .

Niveau 1 — Suites — 15 min

Corrigé — Suite définie par une fraction : forme réduite, variations, bornes, limite

$u_0 = \frac{2}{3}$ , $u_1 = \frac{5}{4}$ et $u_2 = \frac{8}{5}$ .
$3 - \dfrac{7}{n+3} = \dfrac{3(n+3) - 7}{n+3} = \dfrac{3n + 9 - 7}{n+3} = \dfrac{3n + 2}{n+3} = u_n$ .
$u_{n+1} - u_n = \left(3 - \dfrac{7}{n+4}\right) - \left(3 - \dfrac{7}{n+3}\right) = \dfrac{7}{n+3} - \dfrac{7}{n+4} = \dfrac{7}{(n+3)(n+4)}$ .
$u_{n+1} - u_n = \left(3 - \dfrac{7}{n+4}\right) - \left(3 - \dfrac{7}{n+3}\right) = \dfrac{7}{n+3} - \dfrac{7}{n+4} = \dfrac{7}{(n+3)(n+4)}$ .

Ce quotient est strictement positif, donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Pour tout $n$ , $\dfrac{7}{n+3} > 0$ donc $u_n = 3 - \dfrac{7}{n+3} < 3$ .

La suite est croissante (question 4), donc pour tout $n$ , $u_n \geq u_0 = \frac{2}{3}$ . Ainsi $\frac{2}{3} \leq u_n < 3$ : la suite est bornée.
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{7}{n+3} = 0$ donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$ .