Pour que le moteur comptabilise tes réponses, il faudra les entrer ici quand tu auras fini.

Le PDF s'ouvre dans un nouvel onglet : tu peux l'enregistrer sur ton ordinateur ou l'imprimer.

Niveau 1 — Suites — 15 min

Suite définie par une fraction : forme réduite, variations, bornes, limite

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par

u_n = \frac{2n+1}{n+2}

Calculer $u_0$ , $u_1$ et $u_2$ .
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n = 2 - \dfrac{3}{n+2}$ .
Calculer $u_{n+1} - u_n$ en utilisant la question 2.
Quel est le sens de variation de la suite $(u_n)$ ?
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n < 2$ . En déduire que la suite $(u_n)$ est bornée.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ .

Niveau 1 — Suites — 15 min

Corrigé — Suite définie par une fraction : forme réduite, variations, bornes, limite

$u_0 = \frac{1}{2}$ , $u_1 = 1$ et $u_2 = \frac{5}{4}$ .
$2 - \dfrac{3}{n+2} = \dfrac{2(n+2) - 3}{n+2} = \dfrac{2n + 4 - 3}{n+2} = \dfrac{2n + 1}{n+2} = u_n$ .
$u_{n+1} - u_n = \left(2 - \dfrac{3}{n+3}\right) - \left(2 - \dfrac{3}{n+2}\right) = \dfrac{3}{n+2} - \dfrac{3}{n+3} = \dfrac{3}{(n+2)(n+3)}$ .
$u_{n+1} - u_n = \left(2 - \dfrac{3}{n+3}\right) - \left(2 - \dfrac{3}{n+2}\right) = \dfrac{3}{n+2} - \dfrac{3}{n+3} = \dfrac{3}{(n+2)(n+3)}$ .

Ce quotient est strictement positif, donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Pour tout $n$ , $\dfrac{3}{n+2} > 0$ donc $u_n = 2 - \dfrac{3}{n+2} < 2$ .

La suite est croissante (question 4), donc pour tout $n$ , $u_n \geq u_0 = \frac{1}{2}$ . Ainsi $\frac{1}{2} \leq u_n < 2$ : la suite est bornée.
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3}{n+2} = 0$ donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$ .