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Niveau 2 — Suites — 20 min

Une suite arithmético-géométrique

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3$ .

Calculer $u_1$ .
On pose, pour tout entier naturel $n$ , $v_n = u_n - 6$ . Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ .
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ .
Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n > 5{,}99$ .

Niveau 2 — Suites — 20 min

Corrigé — Une suite arithmético-géométrique

$u_1 = 0{,}5 \times u_0 + 3 = 0{,}5 \times 2 + 3 = 4$ .
Pour tout $n$ : $v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = 0{,}5\,u_n + 3 - 6 = 0{,}5\,u_n - 3 = 0{,}5\,(u_n - 6) = 0{,}5\,v_n$ . Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}5$ , et $v_0 = u_0 - 6 = -4$ .
$v_n = -4 \times 0{,}5^n$ , donc $u_n = v_n + 6 = 6 - 4 \times 0{,}5^n$ .
Comme $0 < 0{,}5 < 1$ , $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 0{,}5^n = 0$ , donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 6$ .
$u_n > 5{,}99 \iff 4 \times 0{,}5^n < 0{,}01 \iff 0{,}5^n < 0{,}0025 \iff n\ln(0{,}5) < \ln(0{,}0025) \iff n > \dfrac{\ln(0{,}0025)}{\ln(0{,}5)} \approx 8{,}64$ (on divise par $\ln(0{,}5) < 0$ ). Le plus petit entier est $n = 9$ .