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Niveau 2 — Primitives — 20 min

Vérifier une primitive — série 5

Dans chaque question, dire si FF est une primitive de ff en la dérivant ; la dernière question demande de décider, et de justifier, si c'est le cas.

  1. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=(2x−1) exf(x) = (2x-1)\,e^{x} et F(x)=(2x−3) exF(x) = (2x-3)\,e^{x}. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  2. Soit ff et FF les fonctions définies sur ]−1 ; +∞[]-1\,;\,+\infty[ par f(x)=x2+2x(x+1)2f(x) = \dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2} et F(x)=x2x+1F(x) = \dfrac{x^2}{x+1}. Montrer que FF est une primitive de ff sur ]−1 ; +∞[]-1\,;\,+\infty[.

  3. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=ex(ex+1)2f(x) = \dfrac{e^{x}}{(e^{x}+1)^2} et F(x)=−1ex+1F(x) = -\dfrac{1}{e^{x}+1}. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  4. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=(2x+1) e2xf(x) = (2x+1)\,e^{2x} et F(x)=x e2xF(x) = x\,e^{2x}. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  5. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=2x ex2f(x) = 2x\,e^{x^2} et F(x)=x2 ex2F(x) = x^2\,e^{x^2}. FF est-elle une primitive de ff sur R\mathbb{R} ? Justifier.

  6. Conclure.

Niveau 2 — Primitives — 20 min

Corrigé — Vérifier une primitive — série 5

  1. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    Produit uvuv avec u(x)=2x−3u(x)=2x-3, u′(x)=2u'(x)=2, v(x)=exv(x)=e^x : F′(x)=2ex+(2x−3)ex=(2x−1)ex=f(x)F'(x) = 2e^x + (2x-3)e^x = (2x-1)e^x = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  2. FF est dérivable sur ]−1 ; +∞[]-1\,;\,+\infty[ et, pour tout xx de ]−1 ; +∞[]-1\,;\,+\infty[ :

    Quotient uv\dfrac uv avec u(x)=x2u(x)=x^2, v(x)=x+1v(x)=x+1 :

    F′(x)=2x(x+1)−x2(x+1)2=x2+2x(x+1)2=f(x)F'(x) = \dfrac{2x(x+1)-x^2}{(x+1)^2} = \dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur ]−1 ; +∞[]-1\,;\,+\infty[ : FF est bien une primitive de ff sur ]−1 ; +∞[]-1\,;\,+\infty[.

  3. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    On dérive −1u-\dfrac1u avec u(x)=ex+1u(x)=e^x+1, u′(x)=exu'(x)=e^x : F′(x)=u′u2=ex(ex+1)2=f(x)F'(x) = \dfrac{u'}{u^2} = \dfrac{e^x}{(e^x+1)^2} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  4. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    Produit uvuv avec u(x)=xu(x)=x, v(x)=e2xv(x)=e^{2x}, v′(x)=2e2xv'(x)=2e^{2x} : F′(x)=e2x+x×2e2x=(1+2x)e2x=f(x)F'(x) = e^{2x} + x\times2e^{2x} = (1+2x)e^{2x} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  5. Produit uvuv avec u(x)=x2u(x)=x^2, v(x)=ex2v(x)=e^{x^2} : F′(x)=2x ex2+x2×2x ex2=(2x+2x3)ex2F'(x) = 2x\,e^{x^2} + x^2\times2x\,e^{x^2} = (2x+2x^3)e^{x^2}.

    On n'obtient pas f(x)f(x) : non, FF n'est pas une primitive de ff sur R\mathbb{R}. La bonne primitive est x↦ex2x\mapsto e^{x^2} (forme u′euu'e^u).

  6. Produit uvuv avec u(x)=x2u(x)=x^2, v(x)=ex2v(x)=e^{x^2} : F′(x)=2x ex2+x2×2x ex2=(2x+2x3)ex2F'(x) = 2x\,e^{x^2} + x^2\times2x\,e^{x^2} = (2x+2x^3)e^{x^2}.

    On n'obtient pas f(x)f(x) : non, FF n'est pas une primitive de ff sur R\mathbb{R}. La bonne primitive est x↦ex2x\mapsto e^{x^2} (forme u′euu'e^u).