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Niveau 2 — Primitives — 20 min

Vérifier une primitive — série 2

Dans chaque question, dire si FF est une primitive de ff en la dérivant ; la dernière question demande de décider, et de justifier, si c'est le cas.

  1. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=(x+1) exf(x) = (x+1)\,e^{x} et F(x)=x exF(x) = x\,e^{x}. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  2. Soit ff et FF les fonctions définies sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[ par f(x)=x2−2x(x−1)2f(x) = \dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2} et F(x)=x2x−1F(x) = \dfrac{x^2}{x-1}. Montrer que FF est une primitive de ff sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[.

  3. Soit ff et FF les fonctions définies sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[ par f(x)=1xln⁡xf(x) = \dfrac{1}{x\ln x} et F(x)=ln⁡(ln⁡x)F(x) = \ln(\ln x). Montrer que FF est une primitive de ff sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[.

  4. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=(1−x) e−xf(x) = (1-x)\,e^{-x} et F(x)=x e−xF(x) = x\,e^{-x}. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  5. Soit ff et FF les fonctions définies sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x et F(x)=xln⁡x−x+5F(x) = x\ln x-x+5. FF est-elle une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ ? Justifier.

  6. Conclure.

Niveau 2 — Primitives — 20 min

Corrigé — Vérifier une primitive — série 2

  1. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    Produit uvuv avec u(x)=xu(x)=x, v(x)=exv(x)=e^x : F′(x)=ex+x ex=(x+1)ex=f(x)F'(x) = e^x + x\,e^x = (x+1)e^x = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  2. FF est dérivable sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[ et, pour tout xx de ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[ :

    Quotient uv\dfrac uv avec u(x)=x2u(x)=x^2, u′(x)=2xu'(x)=2x, v(x)=x−1v(x)=x-1, v′(x)=1v'(x)=1 :

    F′(x)=2x(x−1)−x2(x−1)2=2x2−2x−x2(x−1)2=x2−2x(x−1)2=f(x)F'(x) = \dfrac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2} = \dfrac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[ : FF est bien une primitive de ff sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[.

  3. FF est dérivable sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[ et, pour tout xx de ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[ :

    Sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[, ln⁡x>0\ln x>0 donc ln⁡(ln⁡x)\ln(\ln x) est défini. On dérive ln⁡(u)\ln(u) avec u(x)=ln⁡xu(x)=\ln x, u′(x)=1xu'(x)=\dfrac1x : F′(x)=u′u=1/xln⁡x=1xln⁡x=f(x)F'(x) = \dfrac{u'}{u} = \dfrac{1/x}{\ln x} = \dfrac{1}{x\ln x} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[ : FF est bien une primitive de ff sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[.

  4. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    Produit uvuv avec u(x)=xu(x)=x, v(x)=e−xv(x)=e^{-x}, v′(x)=−e−xv'(x)=-e^{-x} : F′(x)=e−x−x e−x=(1−x)e−x=f(x)F'(x) = e^{-x} - x\,e^{-x} = (1-x)e^{-x} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  5. Produit uvuv avec u(x)=xu(x)=x, v(x)=ln⁡xv(x)=\ln x : F′(x)=ln⁡x+x×1x−1+0=ln⁡xF'(x) = \ln x + x\times\dfrac1x - 1 + 0 = \ln x (la constante 55 disparaît à la dérivation).

    On obtient F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ : oui, FF est une primitive de ff.

  6. Produit uvuv avec u(x)=xu(x)=x, v(x)=ln⁡xv(x)=\ln x : F′(x)=ln⁡x+x×1x−1+0=ln⁡xF'(x) = \ln x + x\times\dfrac1x - 1 + 0 = \ln x (la constante 55 disparaît à la dérivation).

    On obtient F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ : oui, FF est une primitive de ff.