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Niveau 2 — Primitives — 20 min

Vérifier une primitive — série 1

Dans chaque question, dire si $F$ est une primitive de $f$ en la dérivant ; la dernière question demande de décider, et de justifier, si c'est le cas.

Soit $f$ et $F$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\,e^{x}$ et $F(x) = (x-1)\,e^{x}$ . Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Soit $f$ et $F$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$ et $F(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$ . Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Soit $f$ et $F$ les fonctions définies sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ et $F(x) = \dfrac12(\ln x)^2$ . Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$ .
Soit $f$ et $F$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^2+2x)\,e^{x}$ et $F(x) = x^2\,e^{x}$ . Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Soit $f$ et $F$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\,e^{x}$ et $F(x) = (x+1)\,e^{x}$ . $F$ est-elle une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ ? Justifier.
Conclure.

Niveau 2 — Primitives — 20 min

Corrigé — Vérifier une primitive — série 1

$F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ :

On dérive un produit $uv$ avec $u(x)=x-1$ , $u'(x)=1$ , $v(x)=e^x$ , $v'(x)=e^x$ :

$F'(x) = u'v+uv' = e^x + (x-1)e^x = x\,e^x = f(x)$ .

Ainsi $F'(x) = f(x)$ sur $\mathbb{R}$ : $F$ est bien une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
$F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ :

Quotient $\dfrac uv$ avec $u(x)=x$ , $u'(x)=1$ , $v(x)=x^2+1$ , $v'(x)=2x$ :

$F'(x) = \dfrac{u'v-uv'}{v^2} = \dfrac{(x^2+1)-x\times2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2} = f(x)$ .

Ainsi $F'(x) = f(x)$ sur $\mathbb{R}$ : $F$ est bien une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
$F$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et, pour tout $x$ de $]0\,;\,+\infty[$ :

On dérive $\dfrac12u^2$ avec $u(x)=\ln x$ , $u'(x)=\dfrac1x$ : $F'(x) = \dfrac12\times2u\,u' = \ln x\times\dfrac1x = \dfrac{\ln x}{x} = f(x)$ .

Ainsi $F'(x) = f(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$ : $F$ est bien une primitive de $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$ .
$F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ :

Produit $uv$ avec $u(x)=x^2$ , $v(x)=e^x$ : $F'(x) = 2x\,e^x + x^2e^x = (x^2+2x)e^x = f(x)$ .

Ainsi $F'(x) = f(x)$ sur $\mathbb{R}$ : $F$ est bien une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Produit $uv$ avec $u(x)=x+1$ , $v(x)=e^x$ : $F'(x) = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$ .

On n'obtient pas $f(x)$ : non, $F$ n'est pas une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ . La bonne primitive est $x\mapsto(x-1)e^x$ .
Produit $uv$ avec $u(x)=x+1$ , $v(x)=e^x$ : $F'(x) = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$ .

On n'obtient pas $f(x)$ : non, $F$ n'est pas une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ . La bonne primitive est $x\mapsto(x-1)e^x$ .