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Niveau 1 — Primitives — 15 min

Vérifier une primitive — série 5

Dans chaque question, vérifier que la fonction FF proposée est une primitive de ff en la dérivant.

  1. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=5−6xf(x) = 5-6x et F(x)=5x−3x2F(x) = 5x-3x^2. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  2. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=ex/2f(x) = e^{x/2} et F(x)=2ex/2F(x) = 2e^{x/2}. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  3. Soit ff et FF les fonctions définies sur ]−1 ; +∞[]-1\,;\,+\infty[ par f(x)=1(x+1)2f(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2} et F(x)=−1x+1F(x) = -\dfrac{1}{x+1}. Montrer que FF est une primitive de ff sur ]−1 ; +∞[]-1\,;\,+\infty[.

  4. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=2sin⁡x−cos⁡(2x)f(x) = 2\sin x-\cos(2x) et F(x)=−2cos⁡x−12sin⁡(2x)F(x) = -2\cos x-\dfrac12\sin(2x). Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  5. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=−sin⁡x ecos⁡xf(x) = -\sin x\,e^{\cos x} et F(x)=ecos⁡xF(x) = e^{\cos x}. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

Niveau 1 — Primitives — 15 min

Corrigé — Vérifier une primitive — série 5

  1. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    F′(x)=5−6x=f(x)F'(x) = 5 - 6x = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  2. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    On dérive 2eu2e^{u} avec u(x)=x2u(x)=\dfrac x2, u′(x)=12u'(x)=\dfrac12 : F′(x)=2×12 ex/2=ex/2=f(x)F'(x) = 2\times\dfrac12\,e^{x/2} = e^{x/2} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  3. FF est dérivable sur ]−1 ; +∞[]-1\,;\,+\infty[ et, pour tout xx de ]−1 ; +∞[]-1\,;\,+\infty[ :

    On dérive −1u-\dfrac1u avec u(x)=x+1u(x)=x+1, u′(x)=1u'(x)=1 : F′(x)=−(−u′u2)=1(x+1)2=f(x)F'(x) = -\left(-\dfrac{u'}{u^2}\right) = \dfrac{1}{(x+1)^2} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur ]−1 ; +∞[]-1\,;\,+\infty[ : FF est bien une primitive de ff sur ]−1 ; +∞[]-1\,;\,+\infty[.

  4. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    F′(x)=−2(−sin⁡x)−12×2cos⁡(2x)=2sin⁡x−cos⁡(2x)=f(x)F'(x) = -2(-\sin x) - \dfrac12\times2\cos(2x) = 2\sin x - \cos(2x) = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  5. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    On dérive eue^u avec u(x)=cos⁡xu(x)=\cos x, u′(x)=−sin⁡xu'(x)=-\sin x : F′(x)=u′eu=−sin⁡x ecos⁡x=f(x)F'(x) = u'e^u = -\sin x\,e^{\cos x} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.