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Niveau 1 — Primitives — 15 min

Vérifier une primitive — série 4

Dans chaque question, vérifier que la fonction FF proposée est une primitive de ff en la dérivant.

  1. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=4x3−3x2f(x) = 4x^3-3x^2 et F(x)=x4−x3F(x) = x^4-x^3. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  2. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=e3x+1f(x) = e^{3x+1} et F(x)=13e3x+1F(x) = \dfrac13e^{3x+1}. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  3. Soit ff et FF les fonctions définies sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=−3x2f(x) = -\dfrac{3}{x^2} et F(x)=3xF(x) = \dfrac{3}{x}. Montrer que FF est une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  4. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=cos⁡x−sin⁡xf(x) = \cos x-\sin x et F(x)=sin⁡x+cos⁡xF(x) = \sin x+\cos x. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  5. Soit ff et FF les fonctions définies sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=12xf(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} et F(x)=xF(x) = \sqrt{x}. Montrer que FF est une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

Niveau 1 — Primitives — 15 min

Corrigé — Vérifier une primitive — série 4

  1. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    F′(x)=4x3−3x2=f(x)F'(x) = 4x^3 - 3x^2 = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  2. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    On dérive 13eu\dfrac13e^{u} avec u(x)=3x+1u(x)=3x+1, u′(x)=3u'(x)=3 : F′(x)=13×3 e3x+1=e3x+1=f(x)F'(x) = \dfrac13\times3\,e^{3x+1} = e^{3x+1} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  3. FF est dérivable sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ et, pour tout xx de ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ :

    F′(x)=3×(−1x2)=−3x2=f(x)F'(x) = 3\times\left(-\dfrac1{x^2}\right) = -\dfrac{3}{x^2} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ : FF est bien une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  4. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    F′(x)=cos⁡x−sin⁡x=f(x)F'(x) = \cos x - \sin x = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  5. FF est dérivable sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ et, pour tout xx de ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ :

    F′(x)=(x)′=12x=f(x)F'(x) = (\sqrt x)' = \dfrac{1}{2\sqrt x} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ : FF est bien une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.