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Niveau 1 — Primitives — 15 min

Vérifier une primitive — série 2

Dans chaque question, vérifier que la fonction FF proposée est une primitive de ff en la dérivant.

  1. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=3x2+2x−1f(x) = 3x^2+2x-1 et F(x)=x3+x2−xF(x) = x^3+x^2-x. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  2. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=ex+1f(x) = e^{x}+1 et F(x)=ex+xF(x) = e^{x}+x. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  3. Soit ff et FF les fonctions définies sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=2xf(x) = \dfrac{2}{x} et F(x)=2ln⁡xF(x) = 2\ln x. Montrer que FF est une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  4. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=−sin⁡xf(x) = -\sin x et F(x)=cos⁡xF(x) = \cos x. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  5. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=2xx2+1f(x) = \dfrac{2x}{x^2+1} et F(x)=ln⁡(x2+1)F(x) = \ln(x^2+1). Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

Niveau 1 — Primitives — 15 min

Corrigé — Vérifier une primitive — série 2

  1. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    F′(x)=3x2+2x−1=f(x)F'(x) = 3x^2 + 2x - 1 = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  2. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    F′(x)=ex+1=f(x)F'(x) = e^x + 1 = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  3. FF est dérivable sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ et, pour tout xx de ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ :

    F′(x)=2×1x=2x=f(x)F'(x) = 2\times\dfrac1x = \dfrac2x = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ : FF est bien une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  4. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    F′(x)=−sin⁡x=f(x)F'(x) = -\sin x = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  5. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    On dérive ln⁡(u)\ln(u) avec u(x)=x2+1>0u(x)=x^2+1>0, u′(x)=2xu'(x)=2x : F′(x)=u′u=2xx2+1=f(x)F'(x) = \dfrac{u'}{u} = \dfrac{2x}{x^2+1} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.