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Niveau 2 — Primitives — 20 min

Primitive avec condition initiale — série 5

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition, repérer la forme composée, puis donner la primitive vérifiant la condition initiale.

  1. Soit ff la fonction définie par f(x)=x(x2+3)2f(x) = x(x^2+3)^2. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=1F(0) = 1.

  2. Soit ff la fonction définie par f(x)=exex+1f(x) = \dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=0F(0) = 0.

  3. Soit ff la fonction définie par f(x)=4x e2x2f(x) = 4x\,e^{2x^2}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=3F(0) = 3.

  4. Soit ff la fonction définie par f(x)=3(2x−4)2f(x) = \dfrac{3}{(2x-4)^2}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 33 qui vérifie F(3)=0F(3) = 0.

  5. Soit ff la fonction définie par f(x)=2e2x+xx2+1f(x) = 2e^{2x}+\dfrac{x}{x^2+1}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=0F(0) = 0.

Niveau 2 — Primitives — 20 min

Corrigé — Primitive avec condition initiale — série 5

  1. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}. Forme 12u′u2\frac12u'u^2 avec u=x2+3u=x^2+3.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦(x2+3)36+Cx \mapsto \dfrac{(x^2+3)^3}{6} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=1F(0) = 1 donne 336+C=1\dfrac{3^3}{6}+C=1, c'est-à-dire 92+C=1\dfrac92+C=1, soit C=−72C = -\dfrac72.

    La primitive cherchée est donc F(x)=(x2+3)36−72F(x) = \dfrac{(x^2+3)^3}{6}-\dfrac72.

  2. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ex+1>0e^x+1>0 donc ff est définie sur R\mathbb{R}. Forme u′u\frac{u'}{u} avec u=ex+1u=e^x+1.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦ln⁡(ex+1)+Cx \mapsto \ln(e^{x}+1) + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=0F(0) = 0 donne ln⁡(e0+1)+C=0\ln(e^0+1)+C=0, c'est-à-dire ln⁡2+C=0\ln2+C=0, soit C=−ln⁡2C = -\ln2.

    La primitive cherchée est donc F(x)=ln⁡(ex+1)−ln⁡2F(x) = \ln(e^{x}+1)-\ln2.

  3. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}. Forme u′euu'e^u avec u=2x2u=2x^2 et u′=4xu'=4x.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦e2x2+Cx \mapsto e^{2x^2} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=3F(0) = 3 donne e0+C=3e^{0}+C=3, c'est-à-dire 1+C=31+C=3, soit C=2C = 2.

    La primitive cherchée est donc F(x)=e2x2+2F(x) = e^{2x^2}+2.

  4. Ensemble de définition : Df=R∖{2}\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{2\}. ff n'est pas définie en 22 ; comme x0=3>2x_0=3>2, on travaille sur ]2 ; +∞[]2\,;\,+\infty[. Forme 32u′u2\frac32\frac{u'}{u^2} avec u=2x−4u=2x-4.

    Les primitives de ff sur ]2 ; +∞[]2\,;\,+\infty[ sont les fonctions x↦−34x−8+Cx \mapsto -\dfrac{3}{4x-8} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(3)=0F(3) = 0 donne −312−8+C=0-\dfrac{3}{12-8}+C=0, c'est-à-dire −34+C=0-\dfrac34+C=0, soit C=34C = \dfrac34.

    La primitive cherchée est donc F(x)=−34x−8+34F(x) = -\dfrac{3}{4x-8}+\dfrac34.

  5. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. x2+1>0x^2+1>0 donc ff est définie sur R\mathbb{R}.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦e2x+12ln⁡(x2+1)+Cx \mapsto e^{2x}+\dfrac12\ln(x^2+1) + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=0F(0) = 0 donne e0+12ln⁡1+C=0e^{0}+\dfrac12\ln1+C=0, c'est-à-dire 1+C=01+C=0, soit C=−1C = -1.

    La primitive cherchée est donc F(x)=e2x+12ln⁡(x2+1)−1F(x) = e^{2x}+\dfrac12\ln(x^2+1)-1.