Pour que le moteur comptabilise tes réponses, il faudra les entrer ici quand tu auras fini.

Le PDF s'ouvre dans un nouvel onglet : tu peux l'enregistrer sur ton ordinateur ou l'imprimer.

Faire l'exercice sur le site

Niveau 2 — Primitives — 20 min

Primitive avec condition initiale — série 4

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition, repérer la forme composée, puis donner la primitive vérifiant la condition initiale.

  1. Soit ff la fonction définie par f(x)=3x2(x3−1)4f(x) = 3x^2(x^3-1)^4. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 11 qui vérifie F(1)=2F(1) = 2.

  2. Soit ff la fonction définie par f(x)=xx2+4f(x) = \dfrac{x}{x^2+4}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=1F(0) = 1.

  3. Soit ff la fonction définie par f(x)=2x ex2f(x) = 2x\,e^{x^2}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 11 qui vérifie F(1)=0F(1) = 0.

  4. Soit ff la fonction définie par f(x)=12x+1f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=4F(0) = 4.

  5. Soit ff la fonction définie par f(x)=1(x−1)2+2xx2+1f(x) = \dfrac{1}{(x-1)^2}+\dfrac{2x}{x^2+1}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 22 qui vérifie F(2)=0F(2) = 0.

Niveau 2 — Primitives — 20 min

Corrigé — Primitive avec condition initiale — série 4

  1. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}. Forme u′u4u'u^4 avec u=x3−1u=x^3-1.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦(x3−1)55+Cx \mapsto \dfrac{(x^3-1)^5}{5} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(1)=2F(1) = 2 donne (1−1)55+C=2\dfrac{(1-1)^5}{5}+C=2, c'est-à-dire C=2C=2, soit C=2C = 2.

    La primitive cherchée est donc F(x)=(x3−1)55+2F(x) = \dfrac{(x^3-1)^5}{5}+2.

  2. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. x2+4>0x^2+4>0 donc ff est définie sur R\mathbb{R}. Forme 12u′u\frac12\frac{u'}{u} avec u=x2+4u=x^2+4.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦12ln⁡(x2+4)+Cx \mapsto \dfrac12\ln(x^2+4) + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=1F(0) = 1 donne 12ln⁡4+C=1\dfrac12\ln4+C=1, c'est-à-dire ln⁡2+C=1\ln2+C=1 (car 12ln⁡4=ln⁡2\dfrac12\ln4=\ln2), soit C=1−ln⁡2C = 1-\ln2.

    La primitive cherchée est donc F(x)=12ln⁡(x2+4)+1−ln⁡2F(x) = \dfrac12\ln(x^2+4)+1-\ln2.

  3. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}. Forme u′euu'e^u avec u=x2u=x^2.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦ex2+Cx \mapsto e^{x^2} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(1)=0F(1) = 0 donne e+C=0e+C=0, soit C=−eC = -e.

    La primitive cherchée est donc F(x)=ex2−eF(x) = e^{x^2}-e.

  4. Ensemble de définition : Df=]−12 ; +∞[\mathcal{D}_f = \left]-\dfrac12\,;\,+\infty\right[. Il faut 2x+1>02x+1>0 : Df=]−12 ; +∞[\mathcal{D}_f=\left]-\dfrac12\,;\,+\infty\right[, qui contient 00. Forme 12u′u\frac12\frac{u'}{\sqrt u} avec u=2x+1u=2x+1.

    Les primitives de ff sur ]−12 ; +∞[\left]-\dfrac12\,;\,+\infty\right[ sont les fonctions x↦2x+1+Cx \mapsto \sqrt{2x+1} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=4F(0) = 4 donne 1+C=4\sqrt1+C=4, c'est-à-dire 1+C=41+C=4, soit C=3C = 3.

    La primitive cherchée est donc F(x)=2x+1+3F(x) = \sqrt{2x+1}+3.

  5. Ensemble de définition : Df=R∖{1}\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{1\}. ff n'est pas définie en 11 ; comme x0=2>1x_0=2>1, on travaille sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[.

    Les primitives de ff sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[ sont les fonctions x↦−1x−1+ln⁡(x2+1)+Cx \mapsto -\dfrac{1}{x-1}+\ln(x^2+1) + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(2)=0F(2) = 0 donne −1+ln⁡5+C=0-1+\ln5+C=0, soit C=1−ln⁡5C = 1-\ln5.

    La primitive cherchée est donc F(x)=−1x−1+ln⁡(x2+1)+1−ln⁡5F(x) = -\dfrac{1}{x-1}+\ln(x^2+1)+1-\ln5.