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Niveau 2 — Primitives — 20 min

Primitive avec condition initiale — série 3

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition, repérer la forme composée, puis donner la primitive vérifiant la condition initiale.

  1. Soit ff la fonction définie par f(x)=x ex2f(x) = x\,e^{x^2}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=1F(0) = 1.

  2. Soit ff la fonction définie par f(x)=2x−1x2−x+3f(x) = \dfrac{2x-1}{x^2-x+3}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=ln⁡3F(0) = \ln 3.

  3. Soit ff la fonction définie par f(x)=(2x+1) ex2+xf(x) = (2x+1)\,e^{x^2+x}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=5F(0) = 5.

  4. Soit ff la fonction définie par f(x)=xx2+1f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=3F(0) = 3.

  5. Soit ff la fonction définie par f(x)=2x+1x2+x+1+cos⁡xf(x) = \dfrac{2x+1}{x^2+x+1}+\cos x. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=1F(0) = 1.

Niveau 2 — Primitives — 20 min

Corrigé — Primitive avec condition initiale — série 3

  1. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}. Forme 12u′eu\frac12u'e^u avec u=x2u=x^2.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦12ex2+Cx \mapsto \dfrac12e^{x^2} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=1F(0) = 1 donne 12e0+C=1\dfrac12e^{0}+C=1, c'est-à-dire 12+C=1\dfrac12+C=1, soit C=12C = \dfrac12.

    La primitive cherchée est donc F(x)=12ex2+12F(x) = \dfrac12e^{x^2}+\dfrac12.

  2. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. x2−x+3x^2-x+3 a un discriminant négatif (Δ=−11\Delta=-11), donc il est strictement positif : ff est définie sur R\mathbb{R}. Forme u′u\frac{u'}{u}.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦ln⁡(x2−x+3)+Cx \mapsto \ln(x^2-x+3) + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=ln⁡3F(0) = \ln 3 donne ln⁡3+C=ln⁡3\ln3+C=\ln3, c'est-à-dire C=0C=0, soit C=0C = 0.

    La primitive cherchée est donc F(x)=ln⁡(x2−x+3)F(x) = \ln(x^2-x+3).

  3. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}. Forme u′euu'e^u avec u=x2+xu=x^2+x.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦ex2+x+Cx \mapsto e^{x^2+x} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=5F(0) = 5 donne e0+C=5e^{0}+C=5, c'est-à-dire 1+C=51+C=5, soit C=4C = 4.

    La primitive cherchée est donc F(x)=ex2+x+4F(x) = e^{x^2+x}+4.

  4. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. x2+1>0x^2+1>0 donc ff est définie sur R\mathbb{R}. Forme 12u′u\frac12\frac{u'}{\sqrt u} avec u=x2+1u=x^2+1.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦x2+1+Cx \mapsto \sqrt{x^2+1} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=3F(0) = 3 donne 1+C=3\sqrt1+C=3, c'est-à-dire 1+C=31+C=3, soit C=2C = 2.

    La primitive cherchée est donc F(x)=x2+1+2F(x) = \sqrt{x^2+1}+2.

  5. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. Le trinôme x2+x+1x^2+x+1 a un discriminant négatif (Δ=−3\Delta=-3) : il est strictement positif, donc ff est définie sur R\mathbb{R}.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦ln⁡(x2+x+1)+sin⁡x+Cx \mapsto \ln(x^2+x+1)+\sin x + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=1F(0) = 1 donne ln⁡1+sin⁡0+C=1\ln1+\sin0+C=1, c'est-à-dire C=1C=1, soit C=1C = 1.

    La primitive cherchée est donc F(x)=ln⁡(x2+x+1)+sin⁡x+1F(x) = \ln(x^2+x+1)+\sin x+1.