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Niveau 2 — Primitives — 20 min

Primitive avec condition initiale — série 2

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition, repérer la forme composée, puis donner la primitive vérifiant la condition initiale.

  1. Soit ff la fonction définie par f(x)=(2x+1)(x2+x)2f(x) = (2x+1)(x^2+x)^2. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 11 qui vérifie F(1)=0F(1) = 0.

  2. Soit ff la fonction définie par f(x)=12x+3f(x) = \dfrac{1}{2x+3}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant −1-1 qui vérifie F(−1)=2F(-1) = 2.

  3. Soit ff la fonction définie par f(x)=3x2 ex3f(x) = 3x^2\,e^{x^3}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=2F(0) = 2.

  4. Soit ff la fonction définie par f(x)=2x(x2+1)2f(x) = \dfrac{2x}{(x^2+1)^2}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=1F(0) = 1.

  5. Soit ff la fonction définie par f(x)=x ex2+xf(x) = x\,e^{x^2}+x. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=0F(0) = 0.

Niveau 2 — Primitives — 20 min

Corrigé — Primitive avec condition initiale — série 2

  1. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}. Forme u′u2u'u^2 avec u=x2+xu=x^2+x.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦(x2+x)33+Cx \mapsto \dfrac{(x^2+x)^3}{3} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(1)=0F(1) = 0 donne (1+1)33+C=0\dfrac{(1+1)^3}{3}+C=0, c'est-à-dire 83+C=0\dfrac83+C=0, soit C=−83C = -\dfrac83.

    La primitive cherchée est donc F(x)=(x2+x)33−83F(x) = \dfrac{(x^2+x)^3}{3}-\dfrac83.

  2. Ensemble de définition : Df=R∖{−32}\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac32\right\}. ff n'est pas définie en −32-\dfrac32 ; comme x0=−1>−32x_0=-1>-\dfrac32, on travaille sur ]−32 ; +∞[\left]-\dfrac32\,;\,+\infty\right[ où 2x+3>02x+3>0.

    Les primitives de ff sur ]−32 ; +∞[\left]-\dfrac32\,;\,+\infty\right[ sont les fonctions x↦12ln⁡(2x+3)+Cx \mapsto \dfrac12\ln(2x+3) + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(−1)=2F(-1) = 2 donne 12ln⁡(1)+C=2\dfrac12\ln(1)+C=2, c'est-à-dire C=2C=2, soit C=2C = 2.

    La primitive cherchée est donc F(x)=12ln⁡(2x+3)+2F(x) = \dfrac12\ln(2x+3)+2.

  3. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}. Forme u′euu'e^u avec u=x3u=x^3.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦ex3+Cx \mapsto e^{x^3} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=2F(0) = 2 donne e0+C=2e^{0}+C=2, c'est-à-dire 1+C=21+C=2, soit C=1C = 1.

    La primitive cherchée est donc F(x)=ex3+1F(x) = e^{x^3}+1.

  4. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. x2+1>0x^2+1>0 donc ff est définie sur R\mathbb{R}. Forme u′u2\frac{u'}{u^2} avec u=x2+1u=x^2+1.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦−1x2+1+Cx \mapsto -\dfrac{1}{x^2+1} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=1F(0) = 1 donne −10+1+C=1-\dfrac{1}{0+1}+C=1, c'est-à-dire −1+C=1-1+C=1, soit C=2C = 2.

    La primitive cherchée est donc F(x)=−1x2+1+2F(x) = -\dfrac{1}{x^2+1}+2.

  5. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦12ex2+x22+Cx \mapsto \dfrac12e^{x^2}+\dfrac{x^2}{2} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=0F(0) = 0 donne 12e0+0+C=0\dfrac12e^{0}+0+C=0, c'est-à-dire 12+C=0\dfrac12+C=0, soit C=−12C = -\dfrac12.

    La primitive cherchée est donc F(x)=12ex2+x22−12F(x) = \dfrac12e^{x^2}+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac12.