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Niveau 1 — Primitives — 15 min

Primitive avec condition initiale — série 5

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition, puis la primitive vérifiant la condition donnée.

  1. Soit ff la fonction définie par f(x)=x+4f(x) = x+4. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant −2-2 qui vérifie F(−2)=1F(-2) = 1.

  2. Soit ff la fonction définie par f(x)=2ex/2f(x) = 2e^{x/2}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=1F(0) = 1.

  3. Soit ff la fonction définie par f(x)=1x+1f(x) = \dfrac{1}{x}+1. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 11 qui vérifie F(1)=2F(1) = 2.

  4. Soit ff la fonction définie par f(x)=2cos⁡x−sin⁡xf(x) = 2\cos x-\sin x. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant π2\dfrac{\pi}{2} qui vérifie F(π2)=3F(\dfrac{\pi}{2}) = 3.

  5. Soit ff la fonction définie par f(x)=3x−1f(x) = \dfrac{3}{x-1}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 22 qui vérifie F(2)=4F(2) = 4.

Niveau 1 — Primitives — 15 min

Corrigé — Primitive avec condition initiale — série 5

  1. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est une fonction polynôme.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦x22+4x+Cx \mapsto \dfrac{x^2}{2}+4x + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(−2)=1F(-2) = 1 donne (−2)22+4×(−2)+C=1\dfrac{(-2)^2}{2}+4\times(-2)+C=1, c'est-à-dire −6+C=1-6+C=1, soit C=7C = 7.

    La primitive cherchée est donc F(x)=x22+4x+7F(x) = \dfrac{x^2}{2}+4x+7.

  2. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦4ex/2+Cx \mapsto 4e^{x/2} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=1F(0) = 1 donne 4e0+C=14e^{0}+C=1, c'est-à-dire 4+C=14+C=1, soit C=−3C = -3.

    La primitive cherchée est donc F(x)=4ex/2−3F(x) = 4e^{x/2}-3.

  3. Ensemble de définition : Df=R∗\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^*. ff n'est pas définie en 00 ; comme x0=1>0x_0=1>0, on travaille sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

    Les primitives de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ sont les fonctions x↦ln⁡x+x+Cx \mapsto \ln x+x + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(1)=2F(1) = 2 donne ln⁡1+1+C=2\ln1+1+C=2, c'est-à-dire 1+C=21+C=2, soit C=1C = 1.

    La primitive cherchée est donc F(x)=ln⁡x+x+1F(x) = \ln x+x+1.

  4. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦2sin⁡x+cos⁡x+Cx \mapsto 2\sin x+\cos x + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(π2)=3F(\dfrac{\pi}{2}) = 3 donne 2sin⁡π2+cos⁡π2+C=32\sin\dfrac{\pi}{2}+\cos\dfrac{\pi}{2}+C=3, c'est-à-dire 2+0+C=32+0+C=3, soit C=1C = 1.

    La primitive cherchée est donc F(x)=2sin⁡x+cos⁡x+1F(x) = 2\sin x+\cos x+1.

  5. Ensemble de définition : Df=R∖{1}\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{1\}. ff n'est pas définie en 11 ; comme x0=2>1x_0=2>1, on travaille sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[ (où x−1>0x-1>0).

    Les primitives de ff sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[ sont les fonctions x↦3ln⁡(x−1)+Cx \mapsto 3\ln(x-1) + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(2)=4F(2) = 4 donne 3ln⁡(2−1)+C=43\ln(2-1)+C=4, c'est-à-dire 0+C=40+C=4, soit C=4C = 4.

    La primitive cherchée est donc F(x)=3ln⁡(x−1)+4F(x) = 3\ln(x-1)+4.