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Niveau 1 — Primitives — 15 min

Primitive avec condition initiale — série 4

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition, puis la primitive vérifiant la condition donnée.

  1. Soit ff la fonction définie par f(x)=6x2−2x+1f(x) = 6x^2-2x+1. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 11 qui vérifie F(1)=5F(1) = 5.

  2. Soit ff la fonction définie par f(x)=e3x+xf(x) = e^{3x}+x. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=1F(0) = 1.

  3. Soit ff la fonction définie par f(x)=2xf(x) = \dfrac{2}{x}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 11 qui vérifie F(1)=3F(1) = 3.

  4. Soit ff la fonction définie par f(x)=sin⁡(3x)f(x) = \sin(3x). Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=1F(0) = 1.

  5. Soit ff la fonction définie par f(x)=2(x+3)2f(x) = \dfrac{2}{(x+3)^2}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant −1-1 qui vérifie F(−1)=0F(-1) = 0.

Niveau 1 — Primitives — 15 min

Corrigé — Primitive avec condition initiale — série 4

  1. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est une fonction polynôme.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦2x3−x2+x+Cx \mapsto 2x^3-x^2+x + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(1)=5F(1) = 5 donne 2−1+1+C=52-1+1+C=5, c'est-à-dire 2+C=52+C=5, soit C=3C = 3.

    La primitive cherchée est donc F(x)=2x3−x2+x+3F(x) = 2x^3-x^2+x+3.

  2. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦13e3x+x22+Cx \mapsto \dfrac13e^{3x}+\dfrac{x^2}{2} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=1F(0) = 1 donne 13e0+0+C=1\dfrac13e^{0}+0+C=1, c'est-à-dire 13+C=1\dfrac13+C=1, soit C=23C = \dfrac23.

    La primitive cherchée est donc F(x)=13e3x+x22+23F(x) = \dfrac13e^{3x}+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac23.

  3. Ensemble de définition : Df=R∗\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^*. ff n'est pas définie en 00 ; comme x0=1>0x_0=1>0, on travaille sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

    Les primitives de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ sont les fonctions x↦2ln⁡x+Cx \mapsto 2\ln x + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(1)=3F(1) = 3 donne 2ln⁡1+C=32\ln1+C=3, c'est-à-dire 0+C=30+C=3, soit C=3C = 3.

    La primitive cherchée est donc F(x)=2ln⁡x+3F(x) = 2\ln x+3.

  4. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦−13cos⁡(3x)+Cx \mapsto -\dfrac13\cos(3x) + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=1F(0) = 1 donne −13cos⁡0+C=1-\dfrac13\cos0+C=1, c'est-à-dire −13+C=1-\dfrac13+C=1, soit C=43C = \dfrac43.

    La primitive cherchée est donc F(x)=−13cos⁡(3x)+43F(x) = -\dfrac13\cos(3x)+\dfrac43.

  5. Ensemble de définition : Df=R∖{−3}\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{-3\}. ff n'est pas définie en −3-3 ; comme x0=−1>−3x_0=-1>-3, on travaille sur ]−3 ; +∞[]-3\,;\,+\infty[.

    Les primitives de ff sur ]−3 ; +∞[]-3\,;\,+\infty[ sont les fonctions x↦−2x+3+Cx \mapsto -\dfrac{2}{x+3} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(−1)=0F(-1) = 0 donne −2−1+3+C=0-\dfrac{2}{-1+3}+C=0, c'est-à-dire −1+C=0-1+C=0, soit C=1C = 1.

    La primitive cherchée est donc F(x)=−2x+3+1F(x) = -\dfrac{2}{x+3}+1.