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Niveau 1 — Primitives — 15 min

Primitive avec condition initiale — série 3

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition, puis la primitive vérifiant la condition donnée.

  1. Soit ff la fonction définie par f(x)=x3−2xf(x) = x^3-2x. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=4F(0) = 4.

  2. Soit ff la fonction définie par f(x)=3exf(x) = 3e^{x}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=0F(0) = 0.

  3. Soit ff la fonction définie par f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 44 qui vérifie F(4)=5F(4) = 5.

  4. Soit ff la fonction définie par f(x)=cos⁡(2x)f(x) = \cos(2x). Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant π4\dfrac{\pi}{4} qui vérifie F(π4)=1F(\dfrac{\pi}{4}) = 1.

  5. Soit ff la fonction définie par f(x)=1(x−2)2f(x) = \dfrac{1}{(x-2)^2}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=1F(0) = 1.

Niveau 1 — Primitives — 15 min

Corrigé — Primitive avec condition initiale — série 3

  1. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est une fonction polynôme.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦x44−x2+Cx \mapsto \dfrac{x^4}{4}-x^2 + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=4F(0) = 4 donne 0+C=40+C=4, soit C=4C = 4.

    La primitive cherchée est donc F(x)=x44−x2+4F(x) = \dfrac{x^4}{4}-x^2+4.

  2. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦3ex+Cx \mapsto 3e^{x} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=0F(0) = 0 donne 3e0+C=03e^{0}+C=0, c'est-à-dire 3+C=03+C=0, soit C=−3C = -3.

    La primitive cherchée est donc F(x)=3ex−3F(x) = 3e^{x}-3.

  3. Ensemble de définition : Df=]0 ; +∞[\mathcal{D}_f = ]0\,;\,+\infty[. La racine et le dénominateur imposent x>0x>0.

    Les primitives de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ sont les fonctions x↦2x+Cx \mapsto 2\sqrt{x} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(4)=5F(4) = 5 donne 24+C=52\sqrt4+C=5, c'est-à-dire 4+C=54+C=5, soit C=1C = 1.

    La primitive cherchée est donc F(x)=2x+1F(x) = 2\sqrt{x}+1.

  4. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦12sin⁡(2x)+Cx \mapsto \dfrac12\sin(2x) + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(π4)=1F(\dfrac{\pi}{4}) = 1 donne 12sin⁡(π2)+C=1\dfrac12\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+C=1, c'est-à-dire 12+C=1\dfrac12+C=1, soit C=12C = \dfrac12.

    La primitive cherchée est donc F(x)=12sin⁡(2x)+12F(x) = \dfrac12\sin(2x)+\dfrac12.

  5. Ensemble de définition : Df=R∖{2}\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{2\}. ff n'est pas définie en 22 ; comme x0=0<2x_0=0<2, on travaille sur ]−∞ ; 2[]-\infty\,;\,2[.

    Les primitives de ff sur ]−∞ ; 2[]-\infty\,;\,2[ sont les fonctions x↦−1x−2+Cx \mapsto -\dfrac{1}{x-2} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=1F(0) = 1 donne −10−2+C=1-\dfrac{1}{0-2}+C=1, c'est-à-dire 12+C=1\dfrac12+C=1, soit C=12C = \dfrac12.

    La primitive cherchée est donc F(x)=−1x−2+12F(x) = -\dfrac{1}{x-2}+\dfrac12.