Pour que le moteur comptabilise tes réponses, il faudra les entrer ici quand tu auras fini.

Le PDF s'ouvre dans un nouvel onglet : tu peux l'enregistrer sur ton ordinateur ou l'imprimer.

Faire l'exercice sur le site

Niveau 1 — Primitives — 15 min

Primitive avec condition initiale — série 2

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition, puis la primitive vérifiant la condition donnée.

  1. Soit ff la fonction définie par f(x)=3x2−4x+1f(x) = 3x^2-4x+1. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 22 qui vérifie F(2)=3F(2) = 3.

  2. Soit ff la fonction définie par f(x)=e−xf(x) = e^{-x}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=1F(0) = 1.

  3. Soit ff la fonction définie par f(x)=3x2f(x) = \dfrac{3}{x^2}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 22 qui vérifie F(2)=1F(2) = 1.

  4. Soit ff la fonction définie par f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=0F(0) = 0.

  5. Soit ff la fonction définie par f(x)=12x+1f(x) = \dfrac{1}{2x+1}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=1F(0) = 1.

Niveau 1 — Primitives — 15 min

Corrigé — Primitive avec condition initiale — série 2

  1. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est une fonction polynôme.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦x3−2x2+x+Cx \mapsto x^3-2x^2+x + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(2)=3F(2) = 3 donne 23−2×22+2+C=32^3-2\times2^2+2+C=3, c'est-à-dire 2+C=32+C=3, soit C=1C = 1.

    La primitive cherchée est donc F(x)=x3−2x2+x+1F(x) = x^3-2x^2+x+1.

  2. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦−e−x+Cx \mapsto -e^{-x} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=1F(0) = 1 donne −e0+C=1-e^{0}+C=1, c'est-à-dire −1+C=1-1+C=1, soit C=2C = 2.

    La primitive cherchée est donc F(x)=−e−x+2F(x) = -e^{-x}+2.

  3. Ensemble de définition : Df=R∗\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^*. ff n'est pas définie en 00 ; comme x0=2>0x_0=2>0, on travaille sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

    Les primitives de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ sont les fonctions x↦−3x+Cx \mapsto -\dfrac3x + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(2)=1F(2) = 1 donne −32+C=1-\dfrac32+C=1, soit C=52C = \dfrac52.

    La primitive cherchée est donc F(x)=−3x+52F(x) = -\dfrac3x+\dfrac52.

  4. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦−cos⁡x+Cx \mapsto -\cos x + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=0F(0) = 0 donne −cos⁡0+C=0-\cos0+C=0, c'est-à-dire −1+C=0-1+C=0, soit C=1C = 1.

    La primitive cherchée est donc F(x)=1−cos⁡xF(x) = 1-\cos x.

  5. Ensemble de définition : Df=R∖{−12}\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac12\right\}. ff n'est pas définie en −12-\dfrac12 ; comme x0=0>−12x_0=0>-\dfrac12, on travaille sur ]−12 ; +∞[\left]-\dfrac12\,;\,+\infty\right[ où 2x+1>02x+1>0.

    Les primitives de ff sur ]−12 ; +∞[\left]-\dfrac12\,;\,+\infty\right[ sont les fonctions x↦12ln⁡(2x+1)+Cx \mapsto \dfrac12\ln(2x+1) + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=1F(0) = 1 donne 12ln⁡1+C=1\dfrac12\ln1+C=1, c'est-à-dire C=1C=1, soit C=1C = 1.

    La primitive cherchée est donc F(x)=12ln⁡(2x+1)+1F(x) = \dfrac12\ln(2x+1)+1.