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Niveau 1 — Primitives — 15 min

Primitive avec condition initiale — série 1

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition, puis la primitive vérifiant la condition donnée.

  1. Soit ff la fonction définie par f(x)=2x−3f(x) = 2x-3. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 11 qui vérifie F(1)=0F(1) = 0.

  2. Soit ff la fonction définie par f(x)=e2xf(x) = e^{2x}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=3F(0) = 3.

  3. Soit ff la fonction définie par f(x)=1x2f(x) = \dfrac{1}{x^2}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 11 qui vérifie F(1)=3F(1) = 3.

  4. Soit ff la fonction définie par f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=2F(0) = 2.

  5. Soit ff la fonction définie par f(x)=1(x−1)2f(x) = \dfrac{1}{(x-1)^2}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 22 qui vérifie F(2)=0F(2) = 0.

Niveau 1 — Primitives — 15 min

Corrigé — Primitive avec condition initiale — série 1

  1. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est une fonction polynôme.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦x2−3x+Cx \mapsto x^2-3x + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(1)=0F(1) = 0 donne 12−3×1+C=01^2-3\times1+C=0, c'est-à-dire −2+C=0-2+C=0, soit C=2C = 2.

    La primitive cherchée est donc F(x)=x2−3x+2F(x) = x^2-3x+2.

  2. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦12e2x+Cx \mapsto \dfrac12e^{2x} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=3F(0) = 3 donne 12e0+C=3\dfrac12e^{0}+C=3, c'est-à-dire 12+C=3\dfrac12+C=3, soit C=52C = \dfrac52.

    La primitive cherchée est donc F(x)=12e2x+52F(x) = \dfrac12e^{2x}+\dfrac52.

  3. Ensemble de définition : Df=R∗\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^*. ff n'est pas définie en 00 ; comme x0=1>0x_0=1>0, on travaille sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

    Les primitives de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ sont les fonctions x↦−1x+Cx \mapsto -\dfrac1x + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(1)=3F(1) = 3 donne −11+C=3-\dfrac11+C=3, c'est-à-dire −1+C=3-1+C=3, soit C=4C = 4.

    La primitive cherchée est donc F(x)=−1x+4F(x) = -\dfrac1x+4.

  4. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦sin⁡x+Cx \mapsto \sin x + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=2F(0) = 2 donne sin⁡0+C=2\sin0+C=2, c'est-à-dire C=2C=2, soit C=2C = 2.

    La primitive cherchée est donc F(x)=sin⁡x+2F(x) = \sin x+2.

  5. Ensemble de définition : Df=R∖{1}\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{1\}. ff n'est pas définie en 11 ; comme x0=2>1x_0=2>1, on travaille sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[.

    Les primitives de ff sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[ sont les fonctions x↦−1x−1+Cx \mapsto -\dfrac{1}{x-1} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(2)=0F(2) = 0 donne −12−1+C=0-\dfrac{1}{2-1}+C=0, c'est-à-dire −1+C=0-1+C=0, soit C=1C = 1.

    La primitive cherchée est donc F(x)=−1x−1+1F(x) = -\dfrac{1}{x-1}+1.