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Niveau 2 — Primitives — 20 min

Calcul de primitives — série 5

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition, repérer la forme $u'u^n$ , $\dfrac{u'}{u}$ , $u'e^u$ , $\dfrac{u'}{u^2}$ ou $\dfrac{u'}{\sqrt u}$ , puis donner une primitive sur chaque intervalle de l'ensemble de définition.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = (4x-2)(x^2-x)^5$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x\,e^{-x^2}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{1}{(x-1)^2}+\dfrac{2x}{x^2+1}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.

Niveau 2 — Primitives — 20 min

Corrigé — Calcul de primitives — série 5

Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . Avec $u(x)=x^2-x$ on a $u'(x)=2x-1$ , donc $4x-2=2u'(x)$ et $f=2u'u^5$ . Une primitive est $2\times\dfrac{u^6}{6}=\dfrac{u^6}{3}$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = \dfrac{(x^2-x)^6}{3}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$e^x+1>0$ pour tout $x$ : $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}$ . On reconnaît $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=e^x+1>0$ et $u'(x)=e^x$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = \ln(e^{x}+1)$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . Avec $u(x)=-x^2$ , $u'(x)=-2x$ donc $f=-\dfrac12u'e^u$ : une primitive est $-\dfrac12e^u$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = -\dfrac12e^{-x^2}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \left]-\dfrac12\,;\,+\infty\right[$ .

Il faut $2x+1>0$ (sous la racine et au dénominateur) : $\mathcal{D}_f=\left]-\dfrac12\,;\,+\infty\right[$ . Avec $u(x)=2x+1$ et $u'(x)=2$ , $f=\dfrac12\times\dfrac{u'}{\sqrt u}$ a pour primitive $\dfrac12\times2\sqrt u=\sqrt u$ .

Sur $\left]-\dfrac12\,;\,+\infty\right[$ : $F(x) = \sqrt{2x+1}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{1\}$ .

Le terme $\dfrac1{(x-1)^2}$ n'existe pas en $1$ : $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ , réunion de $]-\infty\,;\,1[$ et $]1\,;\,+\infty[$ . Sur chacun : $\dfrac{1}{(x-1)^2}=\dfrac{u'}{u^2}$ (avec $u=x-1$ ) a pour primitive $-\dfrac{1}{x-1}$ , et $\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{u'}{u}$ (avec $u=x^2+1>0$ ) a pour primitive $\ln(x^2+1)$ .

Sur $]1\,;\,+\infty[$ : $F(x) = -\dfrac{1}{x-1}+\ln(x^2+1)$ .

Sur $]-\infty\,;\,1[$ : $F(x) = -\dfrac{1}{x-1}+\ln(x^2+1)$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)