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Niveau 2 — Primitives — 20 min

Calcul de primitives — série 2

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition, repérer la forme $u'u^n$ , $\dfrac{u'}{u}$ , $u'e^u$ , $\dfrac{u'}{u^2}$ ou $\dfrac{u'}{\sqrt u}$ , puis donner une primitive sur chaque intervalle de l'ensemble de définition.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = (2x+1)(x^2+x)^2$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{1}{2x+3}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x\,e^{x^2}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x\,e^{x^2}+x$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.

Niveau 2 — Primitives — 20 min

Corrigé — Calcul de primitives — série 2

Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . On reconnaît $u'u^n$ avec $u(x)=x^2+x$ , $u'(x)=2x+1$ et $n=2$ : une primitive est $\dfrac{u^3}{3}$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = \dfrac{(x^2+x)^3}{3}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac32\right\}$ .

Le dénominateur s'annule pour $x=-\dfrac32$ : $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{-\frac32\}$ , réunion de deux intervalles. Avec $u(x)=2x+3$ et $u'(x)=2$ , on a $f=\dfrac12\times\dfrac{u'}{u}$ . Sur $\left]-\dfrac32\,;\,+\infty\right[$ , $u>0$ et une primitive est $\dfrac12\ln(u)$ ; sur $\left]-\infty\,;\,-\dfrac32\right[$ , $u<0$ donc on utilise $\ln(-u)$ .

Sur $\left]-\dfrac32\,;\,+\infty\right[$ : $F(x) = \dfrac12\ln(2x+3)$ .

Sur $\left]-\infty\,;\,-\dfrac32\right[$ : $F(x) = \dfrac12\ln(-2x-3)$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . Avec $u(x)=x^2$ , $u'(x)=2x$ donc $f=\dfrac12u'e^u$ : une primitive est $\dfrac12e^u$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = \dfrac12e^{x^2}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$x^2+1>0$ : $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}$ . On reconnaît $\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u(x)=x^2+1$ et $u'(x)=2x$ : une primitive est $-\dfrac1u$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = -\dfrac{1}{x^2+1}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . $x\,e^{x^2}=\dfrac12u'e^u$ (avec $u=x^2$ ) a pour primitive $\dfrac12e^{x^2}$ et $x$ a pour primitive $\dfrac{x^2}2$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = \dfrac12e^{x^2}+\dfrac{x^2}{2}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)