Pour que le moteur comptabilise tes réponses, il faudra les entrer ici quand tu auras fini.

Le PDF s'ouvre dans un nouvel onglet : tu peux l'enregistrer sur ton ordinateur ou l'imprimer.

Niveau 2 — Primitives — 20 min

Calcul de primitives — série 1

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition, repérer la forme $u'u^n$ , $\dfrac{u'}{u}$ , $u'e^u$ , $\dfrac{u'}{u^2}$ ou $\dfrac{u'}{\sqrt u}$ , puis donner une primitive sur chaque intervalle de l'ensemble de définition.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 2x(x^2+1)^3$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 2x\,e^{x^2}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 1+\dfrac{2x}{x^2+1}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.

Niveau 2 — Primitives — 20 min

Corrigé — Calcul de primitives — série 1

Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est un polynôme, définie sur $\mathbb{R}$ . On reconnaît $u'u^n$ avec $u(x)=x^2+1$ , $u'(x)=2x$ et $n=3$ : une primitive est $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = \dfrac{(x^2+1)^4}{4}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

Le dénominateur $x^2+1$ ne s'annule jamais (il est supérieur ou égal à $1$ ) : $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}$ . On reconnaît $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=x^2+1>0$ : une primitive est $\ln(u)$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = \ln(x^2+1)$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . On reconnaît $u'e^u$ avec $u(x)=x^2$ et $u'(x)=2x$ : une primitive est $e^u$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = e^{x^2}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{-1\}$ .

Le dénominateur s'annule en $x=-1$ : $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ , réunion des intervalles $]-\infty\,;\,-1[$ et $]-1\,;\,+\infty[$ . Avec $u(x)=x+1$ et $u'(x)=1$ , $f=\dfrac{u'}{u^2}$ a pour primitive $-\dfrac1u$ .

Sur $]-1\,;\,+\infty[$ : $F(x) = -\dfrac{1}{x+1}$ .

Sur $]-\infty\,;\,-1[$ : $F(x) = -\dfrac{1}{x+1}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$x^2+1>0$ : $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}$ . $1$ a pour primitive $x$ et $\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{u'}{u}$ (avec $u=x^2+1>0$ ) a pour primitive $\ln(x^2+1)$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = x+\ln(x^2+1)$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)