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Niveau 1 — Primitives — 15 min

Calcul de primitives — série 5

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition puis une primitive sur chaque intervalle où elle est définie. On rappelle qu'une primitive n'existe que sur un intervalle.

  1. Soit ff la fonction définie par f(x)=(x+1)2f(x) = (x+1)^2. Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de ff sur chaque intervalle de cet ensemble.

  2. Soit ff la fonction définie par f(x)=1x3f(x) = \dfrac{1}{x^3}. Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de ff sur chaque intervalle de cet ensemble.

  3. Soit ff la fonction définie par f(x)=4e−2x+1f(x) = 4e^{-2x+1}. Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de ff sur chaque intervalle de cet ensemble.

  4. Soit ff la fonction définie par f(x)=sin⁡(x2)f(x) = \sin\left(\dfrac{x}{2}\right). Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de ff sur chaque intervalle de cet ensemble.

  5. Soit ff la fonction définie par f(x)=cos⁡x+1x2f(x) = \cos x + \dfrac{1}{x^2}. Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de ff sur chaque intervalle de cet ensemble.

Niveau 1 — Primitives — 15 min

Corrigé — Calcul de primitives — série 5

  1. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}.

    ff est définie sur R\mathbb{R}. On développe : f(x)=x2+2x+1f(x) = x^2+2x+1, puis on intègre terme à terme.

    Sur R\mathbb{R} : F(x)=x33+x2+xF(x) = \dfrac{x^3}{3} + x^2 + x.

    (Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)

  2. Ensemble de définition : Df=R∗=]−∞ ; 0[∪]0 ; +∞[\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^* = ]-\infty\,;\,0[ \cup ]0\,;\,+\infty[.

    ff n'est pas définie en 00 : Df=R∗\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^*. Comme 1x3=x−3\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}, une primitive est x−2−2=−12x2\dfrac{x^{-2}}{-2}=-\dfrac{1}{2x^2} sur chacun des intervalles ]−∞ ; 0[]-\infty\,;\,0[ et ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

    Sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ : F(x)=−12x2F(x) = -\dfrac{1}{2x^2}.

    Sur ]−∞ ; 0[]-\infty\,;\,0[ : F(x)=−12x2F(x) = -\dfrac{1}{2x^2}.

    (Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)

  3. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}.

    ff est définie sur R\mathbb{R}. Une primitive de eax+be^{ax+b} est 1aeax+b\dfrac1a e^{ax+b} ; ici a=−2a=-2 donc 4e−2x+14e^{-2x+1} a pour primitive 4−2e−2x+1\dfrac{4}{-2}e^{-2x+1}.

    Sur R\mathbb{R} : F(x)=−2e−2x+1F(x) = -2e^{-2x+1}.

    (Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)

  4. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}.

    ff est définie sur R\mathbb{R}. Ici a=12a=\dfrac12 : une primitive de sin⁡(ax+b)\sin(ax+b) est −1acos⁡(ax+b)=−2cos⁡(x2)-\dfrac1a\cos(ax+b)=-2\cos\left(\dfrac x2\right).

    Sur R\mathbb{R} : F(x)=−2cos⁡(x2)F(x) = -2\cos\left(\dfrac{x}{2}\right).

    (Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)

  5. Ensemble de définition : Df=R∗=]−∞ ; 0[∪]0 ; +∞[\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^* = ]-\infty\,;\,0[ \cup ]0\,;\,+\infty[.

    ff n'est pas définie en 00 : Df=R∗\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^*. Sur chacun des intervalles, cos⁡x\cos x a pour primitive sin⁡x\sin x et 1x2\dfrac1{x^2} a pour primitive −1x-\dfrac1x.

    Sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ : F(x)=sin⁡x−1xF(x) = \sin x - \dfrac1x.

    Sur ]−∞ ; 0[]-\infty\,;\,0[ : F(x)=sin⁡x−1xF(x) = \sin x - \dfrac1x.

    (Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)