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Niveau 1 — Primitives — 15 min

Calcul de primitives — série 4

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition puis une primitive sur chaque intervalle où elle est définie. On rappelle qu'une primitive n'existe que sur un intervalle.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 6x^5-x^2$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 5e^{x/2}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \cos(2x-1)$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 3e^{2x}-4x$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.

Niveau 1 — Primitives — 15 min

Corrigé — Calcul de primitives — série 4

Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est un polynôme, définie sur $\mathbb{R}$ . On intègre terme à terme.

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = x^6 - \dfrac{x^3}{3}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = ]0\,;\,+\infty[$ .

$\sqrt{x}$ existe pour $x\geq0$ et il faut $\sqrt{x}\neq0$ : $\mathcal{D}_f = ]0\,;\,+\infty[$ . On sait que $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ donc $\dfrac{1}{\sqrt{x}}=2\times\dfrac{1}{2\sqrt x}$ a pour primitive $2\sqrt{x}$ .

Sur $]0\,;\,+\infty[$ : $F(x) = 2\sqrt{x}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . Ici $e^{x/2}=e^{\frac12 x}$ avec $a=\dfrac12$ : une primitive de $e^{x/2}$ est $\dfrac{1}{1/2}e^{x/2}=2e^{x/2}$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = 10e^{x/2}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . Une primitive de $\cos(ax+b)$ est $\dfrac1a\sin(ax+b)$ ; ici $a=2$ et $b=-1$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = \dfrac12\sin(2x-1)$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . $3e^{2x}$ a pour primitive $\dfrac32 e^{2x}$ et $-4x$ a pour primitive $-2x^2$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = \dfrac32 e^{2x} - 2x^2$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)