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Niveau 1 — Primitives — 15 min

Calcul de primitives — série 3

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition puis une primitive sur chaque intervalle où elle est définie. On rappelle qu'une primitive n'existe que sur un intervalle.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2-4x+3$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{2}{x}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = e^{3x+1}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 2\cos x - 3\sin x$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 2x+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.

Niveau 1 — Primitives — 15 min

Corrigé — Calcul de primitives — série 3

Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est un polynôme, définie sur $\mathbb{R}$ . On intègre terme à terme.

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^* = ]-\infty\,;\,0[ \cup ]0\,;\,+\infty[$ .

$f$ n'est pas définie en $0$ : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^*$ . Sur $]0\,;\,+\infty[$ , $\dfrac1x$ a pour primitive $\ln x$ donc $\dfrac2x$ a pour primitive $2\ln x$ . Sur $]-\infty\,;\,0[$ , on utilise $\ln(-x)$ (défini car $-x>0$ ), de dérivée $\dfrac{-1}{-x}=\dfrac1x$ : une primitive est $2\ln(-x)$ .

Sur $]0\,;\,+\infty[$ : $F(x) = 2\ln x$ .

Sur $]-\infty\,;\,0[$ : $F(x) = 2\ln(-x)$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . Une primitive de $e^{ax+b}$ est $\dfrac1a e^{ax+b}$ ; ici $a=3$ et $b=1$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = \dfrac13 e^{3x+1}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . On intègre terme à terme : $\cos$ a pour primitive $\sin$ et $\sin$ a pour primitive $-\cos$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = 2\sin x + 3\cos x$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = ]0\,;\,+\infty[$ .

$\dfrac{1}{\sqrt x}$ exige $x>0$ : $\mathcal{D}_f = ]0\,;\,+\infty[$ . $2x$ a pour primitive $x^2$ et $\dfrac1{\sqrt x}$ a pour primitive $2\sqrt{x}$ .

Sur $]0\,;\,+\infty[$ : $F(x) = x^2 + 2\sqrt{x}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)