Pour que le moteur comptabilise tes réponses, il faudra les entrer ici quand tu auras fini.

Le PDF s'ouvre dans un nouvel onglet : tu peux l'enregistrer sur ton ordinateur ou l'imprimer.

Faire l'exercice sur le site

Niveau 1 — Primitives — 15 min

Calcul de primitives — série 2

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition puis une primitive sur chaque intervalle où elle est définie. On rappelle qu'une primitive n'existe que sur un intervalle.

  1. Soit ff la fonction définie par f(x)=4x3+6x−5f(x) = 4x^3+6x-5. Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de ff sur chaque intervalle de cet ensemble.

  2. Soit ff la fonction définie par f(x)=3x2+2xf(x) = \dfrac{3}{x^2}+2x. Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de ff sur chaque intervalle de cet ensemble.

  3. Soit ff la fonction définie par f(x)=3e−xf(x) = 3e^{-x}. Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de ff sur chaque intervalle de cet ensemble.

  4. Soit ff la fonction définie par f(x)=sin⁡(2x)f(x) = \sin(2x). Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de ff sur chaque intervalle de cet ensemble.

  5. Soit ff la fonction définie par f(x)=ex+1xf(x) = e^{x}+\dfrac{1}{x}. Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de ff sur chaque intervalle de cet ensemble.

Niveau 1 — Primitives — 15 min

Corrigé — Calcul de primitives — série 2

  1. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}.

    ff est un polynôme, définie sur R\mathbb{R}. On intègre terme à terme.

    Sur R\mathbb{R} : F(x)=x4+3x2−5xF(x) = x^4 + 3x^2 - 5x.

    (Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)

  2. Ensemble de définition : Df=R∗=]−∞ ; 0[∪]0 ; +∞[\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^* = ]-\infty\,;\,0[ \cup ]0\,;\,+\infty[.

    ff n'est pas définie en 00 : Df=R∗\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^*. Sur chaque intervalle ]−∞ ; 0[]-\infty\,;\,0[ et ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[, on intègre terme à terme : 3x2\dfrac{3}{x^2} a pour primitive −3x-\dfrac3x et 2x2x a pour primitive x2x^2.

    Sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ : F(x)=−3x+x2F(x) = -\dfrac{3}{x} + x^2.

    Sur ]−∞ ; 0[]-\infty\,;\,0[ : F(x)=−3x+x2F(x) = -\dfrac{3}{x} + x^2.

    (Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)

  3. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}.

    ff est définie sur R\mathbb{R}. Une primitive de eax+be^{ax+b} est 1aeax+b\dfrac1a e^{ax+b} ; ici a=−1a=-1.

    Sur R\mathbb{R} : F(x)=−3e−xF(x) = -3e^{-x}.

    (Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)

  4. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}.

    ff est définie sur R\mathbb{R}. Une primitive de sin⁡(ax+b)\sin(ax+b) est −1acos⁡(ax+b)-\dfrac1a\cos(ax+b) ; ici a=2a=2.

    Sur R\mathbb{R} : F(x)=−12cos⁡(2x)F(x) = -\dfrac12\cos(2x).

    (Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)

  5. Ensemble de définition : Df=R∗=]−∞ ; 0[∪]0 ; +∞[\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^* = ]-\infty\,;\,0[ \cup ]0\,;\,+\infty[.

    ff n'est pas définie en 00 : Df=R∗\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^*. exe^x a pour primitive exe^x ; 1x\dfrac1x a pour primitive ln⁡x\ln x sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ et ln⁡(−x)\ln(-x) sur ]−∞ ; 0[]-\infty\,;\,0[.

    Sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ : F(x)=ex+ln⁡xF(x) = e^{x} + \ln x.

    Sur ]−∞ ; 0[]-\infty\,;\,0[ : F(x)=ex+ln⁡(−x)F(x) = e^{x} + \ln(-x).

    (Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)