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Niveau 2 — Fonction logarithme — 20 min

Simplification d'écritures — série 4

Dans chaque question, simplifier l'expression demandée à l'aide des propriétés algébriques du logarithme et de l'exponentielle.

On pose $a = \ln 2$ , $b = \ln 3$ et $c = \ln 5$ . Exprimer $\ln\sqrt{12}$ en fonction de $a$ , $b$ et $c$ .
Simplifier $\ln(3+\sqrt{2}) + \ln(3-\sqrt{2})$ .
Pour $x > 0$ , écrire $2\ln x + \ln 3 - \ln\dfrac{x}{3}$ sous la forme d'un seul logarithme.
Simplifier $e^{-2\ln 3}$ .
Pour $x>0$ , simplifier $2\ln x + \ln\dfrac{1}{x}$ .

Niveau 2 — Fonction logarithme — 20 min

Corrigé — Simplification d'écritures — série 4

$\ln\sqrt{12} = \dfrac12\ln 12 = \dfrac12\ln(2^2 \times 3) = \dfrac12(2a + b) = a + \dfrac{b}{2}$ .
$\ln(3+\sqrt2) + \ln(3-\sqrt2) = \ln(9-2) = \ln 7$ .
Pour $x>0$ : $2\ln x + \ln 3 - \ln\dfrac{x}{3} = \ln(x^2) + \ln 3 - \ln\dfrac{x}{3} = \ln\dfrac{x^2 \times 3}{x/3} = \ln(9x)$ .
$e^{-2\ln 3} = e^{\ln(3^{-2})} = e^{\ln(1/9)} = \dfrac19$ .
$\ln\dfrac1x = -\ln x$ donc $2\ln x + \ln\dfrac1x = 2\ln x - \ln x = \ln x$ .